阪大理系数学'23年前期[1]
nを2以上の自然数とする。
(1) 
のとき、次の不等式が成り立つことを示せ。 (2) 
とするとき、次の極限値を求めよ。
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解答 極限値の問題です。交代級数(
が各項についていて、正負が各項ごとに入れ替わる)なので、やりにくさはありますが、はさみうちの形が見えているので問題ないでしょう。
(1) 
は、初項：
，公比：
，項数：
の等比数列の和です。よって、 与不等式の不等号に挟まれた部分は、
･･･①これで与不等式は、
と同値になります。
なので、
より、
が言えればよいことになります(不等式の証明を参照)。
右図を描けばすぐに確認できますが、
とおいて微分すると、
より、
は
において減少関数で、
より、
のグラフは
において下に凸(関数の凹凸を参照)です。
，
より
のグラフは、2点
，
を結ぶ直線
から下にあり、直線
から上にあります。よって、
(微分法の不等式への応用(2)を参照)，つまり、
，各辺に
をかけて、 となり、①より、与不等式が成立します。
(2) (1)の不等号に挟まれた部分の
ですが、このままでは
に結びつかないので、
を引っ張り出すために(1)の不等式の各辺を
の範囲で積分します(定積分と不等式を参照)。 
･･･②②左辺は、
②右辺は、
よって、②より、
各辺に
をかけると、 注．
ですが、
(m：自然数)のとき、 というような考え方も知られています。
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