東大理系数学'24年前期[2]
次の関数
を考える。
(
)(1) 
を満たす実数αで、
となるものを求めよ。 (2) (1)で求めたαに対し、
の値を求めよ。 (3) 関数
の区間
における最大値と最小値を求めよ。必要ならば、
であることを用いてよい。
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解答 絶対値付き定積分も一本道の問題ですが、本問では、
として置換積分した後、混乱しないように注意が必要です。
問題文の
は、積分区間を
と
に分け、絶対値を外して積分します。
のとき、
のとき、
よって、
･･･①
は、
とおく(置換積分を参照)と、
，t：
のとき、θ：
(βは
を満たす角)
･･･②
は、
とおくと、
，t：
のとき、θ：
(
，
です)
･･･③
･･･④
･･･⑤
･･･⑥
(1) 
を微分するにあたって、
なので、βがxの関数であることに注意します。 より、
よって、⑥を微分すると、
とすると
，即ち、
より
，
となるαは、
......[答]
より、
......[答] ･･･⑦
(3) ⑥で
とすると、
⑥で
とすると、このとき
なので、 増減表は、以下のようになります。両端のどちらの方が大きいかが問題になりますが、差を取ってみると、 
，
なので、
より、
，よって
増減表より、
の
における、最大値は
，最小値は
......[答]
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とすると、
のとき
なので、
