早大理工数学'11年[3]
とする。以下の問いに答えよ。
(1) 
のグラフの概形を次の点に注意して描け：
の増減、グラフの凹凸、
，
のときの
の挙動。 (2) nを自然数とする。
に対してxが
を動くときの
の最大値を
，最小値を
とし、 とおく。
，
を求めよ。 (3) 
および
を求めよ。 (4) 各nに対して
であることを示せ。
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解答 極限と微分に関する基本問題です。こうした問題で着実に得点できるように、基本反復演習をしておいて欲しいというのが出題者の意図でしょう。
なお、
とおいて置換成分することにより、
なので、(3)の結果は最初から見えています。
とすると、
∴ 
，このとき、
とすると、
∴ 
，このとき、
のとき、
，
より、
これより、
(y軸)が漸近線になります。
のときの
の挙動を調べるために準備をします。
とおくと、
とすると、
∴ 
，このとき、
増減表より、
(関数の増減を参照)
で割ると、
において
のとき、
，はさみうちの原理より、
また、
のとき、
，これより、
(x軸)が漸近線になります。
の増減表は以下のようになります。
以上より、
のグラフは右図太線。
(2) 
より、
(
)において、
は単調増加です。この範囲における
の最大値
，最小値
は、 
......[答]
(3) 
(極限の公式を参照)を利用するために、(2)の結果で、
を
で割って
をかけます。
を
で割って
をかけます。 ∴ 
，
......[答]
(4) 
において，
範囲内で
は、恒等的に
，あるいは
に等しい、ということはないので、 各辺を
について加え合わせると、 
より、
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)
のとき、
，
......[
より、