京大物理'11年[3]

京大物理'11年[3]

次の文を読んで、　　に適した式を、それぞれの解答欄に記入せよ。また、問1，問2については、指示にしたがって、解答を解答欄に記入せよ。

断面積Sの十分に長い両端が開口しているシリンダーを考える。図1のように、シリンダーの片方は質量mのピストンでふさがれており、もう一方は栓を用いて中の気体を封じ込めることができる。この栓とシリンダーの間の最大摩擦力の大きさはFである。シリンダー、栓、ピストンは、いずれも断熱材でできており、これらは熱を通さない。シリンダーの内部には、温度制御装置が組み込まれており、中の気体を加熱または冷却することができる。シリンダー、栓、ピストン、温度制御装置の熱容量は無視できるものとし、温度制御装置の体積は十分に小さく、ピストンの運動を妨げないものとする。また、ピストンとシリンダーの間の摩擦は無視できるものとする。
いま、このシリンダー、栓、ピストンからなる容器の中に1molの単原子分子からなる理想気体が封入されている。以下、外気の圧力を

，気体定数をRとする。

(1－1) 初期状態(状態A)では、容器内部の気体の温度は

，圧力は外気と同じ

であった。この状態Aからピストンの位置を固定したまま、温度制御装置で中の気体を加熱していったところ、ある温度で栓が動き始めた。この動き出す直前の状態をBとする。そのときの温度は　あ　であり、状態Aから状態Bに変化させるために要した熱量は　い　である。

(1－2) 再び状態Aに戻し、容器内の圧力が常に

となるようにピストンの位置を調節しながら温度制御装置で熱を加えたところ、容器内の気体の体積が8倍になった(状態C)。状態Aから状態Cまでの気体の内部エネルギーの変化量は　う　であり、温度制御装置が与えた熱量は　え　である。

以下では、必要ならば、「単原子分子からなる理想気体の断熱変化では、

は一定である」ことを用いよ。

(1－3) 再び状態Aに戻し、今度は温度制御装置は使わず、断熱した状態でピストンを十分にゆっくりと動かし、気体を体積が8倍になるまで膨張させたところ、栓はまだ静止したままの状態であった。この状態をDとすると、その温度は　お　であり、AからDへの変化で、容器の中の気体が外にした仕事は　か　である。また、栓が動かなかったことから、最大摩擦力Fは　き　より大きいことがわかった。

問1　容器に封入した理想気体を、状態A→C→D→Aの順で十分にゆっくりと変化させる熱機関を考える。ただし、A→C，C→D，D→Aのプロセスは、それぞれ定圧変化、定積変化、断熱変化である。この熱機関1サイクルの状態の変化を、横軸を体積、縦軸を圧力として図示せよ。また、この熱機関の熱効率を導出の過程とともに示し、有効数字2けたで求めよ。

(2) 再び状態Aに戻し、次に温度制御装置を切ったままピストンを静止位置から少し動かして放すと、栓は動かないままピストンは振動を始めた。このとき、ある時刻における圧力をp，ピストンの加速度をaとすると、ピストンの運動方程式は、