京大物理'23年前期[1]
次の文章を読んで、　　に適した式または数値を、それぞれの解答欄に記入せよ。なお、　　はすでに　　で与えられたものと同じものを表す。また、問1，問2では、指示にしたがって、解答をそれぞれの解答欄に記入せよ。ただし、円周率はπとする。

(1) 図1のように点Oを中心とする質量Mの地球のまわりを、地球より十分小さい質量mの宇宙船Uが楕円軌道でまわっている。宇宙船Uから点Oに向かう方向の速さをu，それと垂直な方向の速さをv，宇宙船Uと点O間の距離をrとし、宇宙船Uには点Oに向かう方向の万有引力のみがはたらくものとする。このとき、宇宙船Uの運動エネルギーはm，u，vで表すと　ア　であり、さらに、位置エネルギーは無限遠方を0として万有引力定数GおよびM，m，rで表すと　イ　である。宇宙船Uの力学的エネルギーを負の一定値Eとすると
と表すことができる。ここで、ケプラーの第2法則(面積速度一定の法則)が成り立つことから面積速度を一定の値として、rを含む項をまとめた関数をG，M，m，r，Sを用いて表すと　ウ　である。宇宙船Uが楕円軌道を運動する間、は0を最小値とする有限の範囲を変化する。したがって、となるrの範囲が、宇宙船Uと点O間の距離が変化する範囲を表す。

問1　関数の概形はどのようになるか。rを横軸，を縦軸として特にとのときの振る舞いがわかるようにグラフに描け。このとき、地球を大きさが無視できる質量Mの質点とみなせ。また、横軸、縦軸に0以外の値を記入する必要はない。

(2) 図2のように、宇宙船Uの軌道が半径Rの円軌道とみなせる場合を考える。このRは以下で常に一定値をとり、したがって、(1)のrと異なることに注意せよ。このとき、宇宙船Uの速さをv，軌道を一周する周期をTとする。周期TをG，M，Rで表すと　エ　である。
次に、宇宙船Uに、点Oに向かう方向(半径方向)に十分弱い力が外部から瞬間的に加わった場合を考える。すると、宇宙船Uは元の円軌道とはわずかに異なる軌道をたどり始める。この後の運動を以下のように考察しよう。宇宙船Uの半径方向の位置が内向きを正としてだけ内側にずれた点、すなわち点Oから距離の点での、半径方向に垂直な方向の速さをとし、とはそれぞれRとvに比べ常に十分小さいとする。瞬間的な外力により宇宙船Uの運動エネルギーはわずかに増加するが、半径方向の力であるためケプラーの第2法則はこの間、常に成立する。これより、に比例する項を無視すると、R，，vを用いて　オ　と表せる。
位置が元の円軌道の半径Rからだけ内側にずれたことで、宇宙船Uにはたらく力がどのように変化するか求めよう。以下では、，が1より十分小さいときに成り立つ近似式， (p，qは実数)を用いよ。まず、万有引力の大きさの増分をに比例する形でG，M，m，Rを用いて表すと
　カ　
である。一方、遠心力は半径，速さの円運動と同様に考えることができる。これより、遠心力の大きさの増分をに比例する形でm，R，vを用いて表すと
　キ　
である。以上より、内向きを正とする合力の増分がに比例する形でG，M，m，Rを用いて
　ク　
と求まる。したがって、この力は宇宙船Uの半径方向の位置のずれを元に戻す復元力としてはたらく。この力が引き起こす加速度を内向きを正としてと定義すると、半径方向の運動方程式は　ク　となる。以上の議論はが負、つまり宇宙船Uの位置が半径Rから外側にずれた場合にも成立する。よって、上記の運動方程式から宇宙船Uは半径方向の微小変位について単振動することがわかる。この微小な振動運動の周期をt とすると、宇宙船Uが軌道を一周する周期Tとの比は　ケ　である。この運動は元の円運動とは異なるものの、宇宙船Uがその後も継続して地球を周回し続けることは変わらない。

(3) 質量mの宇宙船Uが質量Mの天体Xのまわりを運動する場合を考える。mはMより十分小さいとする。宇宙船Uには天体Xからの引力のみがはたらくが、その力の大きさはニュートンの万有引力の法則を含む一般的な形で、
と表せるとする。ここで、rは天体Xの中心から宇宙船Uまでの距離、Aとkは正の定数であり、，ならばニュートンの万有引力の法則に相当する。なお以下では、天体Xからの引力以外の物理法則、すなわち遠心力を表す式とケプラーの第2法則は変わらず成り立つものとする。
いま、任意のkの場合に対して、この引力を向心力とする、天体Xの中心を周回する半径Rの円運動を考えることができる。このときの半径方向に垂直な方向の速さをA，R，kで表すと　コ　である。ここで、宇宙船Uに、天体Xの中心に向かう方向に十分弱い力が外部から瞬間的に加わった場合を考察しよう。
(2)と同様に、宇宙船Uの軌道がわずかに内向きに変化したとする．宇宙船Uの軌道のずれが内向きを正としての場合、合力の増分を(2)と同様の方法で考えることができる。引力の大きさを表す式がとなったことに注意し、その増分をに比例する形でA，m，R，kを用いて表すと
　サ　
である。内向きを正とする合力の増分もに比例する形でA，m，R，kを用いて
　シ　
と求まる。以上の議論はが負、つまり宇宙船Uの位置が半径Rから外側にずれた場合にも成立する。
これより、宇宙船Uの運動はkの値に応じて異なることが以下のようにわかる。まず、(2)で考えたような半径方向の微小振動を伴う運動となるのは　ス　の場合のみである。また、この場合、微小な振動の周期と軌道を一周する周期の比はkのみの関数として　セ　と表せる。

問2　　ス　の場合、軌道が内側にだけずれたときに合力の増分のはたらく向きはどちら向きで、大きさはとともにどのように変わるか、が正の場合について答えよ。また、その結果、宇宙船Uの運動はどのようになるか述べよ。


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解答　最後で逆2乗則から外れた想定が登場しますが、万有引力に関する問題です。

(1) 宇宙船Uの速さの2乗は、です。宇宙船Uの運動エネルギーは、 ......[ア]
無限遠方を0として、宇宙船の位置エネルギーは、 ......[イ]
より、　･･･①
宇宙船Uの力学的エネルギーは、[ア]と[イ]の和で、①を代入すると、
よって、 ......[ウ]

問1　より、，　(関数の極限を参照)
とすると、　∴
よって、は，つまり、のときに最小となります(2次関数の最大・最小を参照)。
よって、関数のグラフの概形は右図。

(2) 点Oに向かう方向の一定の万有引力を受けて、宇宙船Uは速さvで等速円運動します。宇宙船Uの運動方程式は、
　∴ 　･･･②
等速円運動の周期Tは、 ......[エ]
ケプラーの第2法則(面積速度保存)より、
を無視すると、
　∴ (でです)　･･･③　......[オ]
万有引力の変化は、問題文中の近似式を用いて、
(正の値なので、大きさの増分です)　 ......[カ]
遠心力の変化は、問題文中の近似式と③を用いると、
(正の値なので、大きさの増分です)　 ......[キ]
[キ]の結果、つまり遠心力の大きさの増分は、②を用いて書き直すと、
　･･･④
万有引力の大きさの増分から遠心力の大きさの増分を引いたものは、[カ]の結果から④を引いて、
　 ......[ク]
単振動の運動方程式は、加速度をaとして、
単振動の公式：より、単振動の角振動数をωとすると、
単振動の周期t は、，[エ]よりなので、 ......[ケ]

(3) 引力を受けて円運動する宇宙船Uの運動方程式は、宇宙船Uの半径方向に垂直な方向の速さをとして、宇宙船Uの運動方程式は、
　∴ ......[コ]　･･･⑤
引力の変化は、
(正の値なので大きさの増分です)　 ......[サ]
遠心力の変化は、③と[コ]の結果を用いて、
　･･･⑥
引力の大きさの増分から遠心力の大きさの増分を引いたものは、[サ]の結果から⑥を引いて、
　 ......[シ]
宇宙船Uの運動が半径方向の微小振動を伴う運動になるのは、[シ]が復元力となるときで、その条件は、　∴ 　3.......[ス]
円運動の周期は⑤より、
のとき、単振動の運動方程式は、加速度をとして、[シ]の結果を用いて、
より、角振動数は、，単振動の周期は、，よって、
......[セ]

問2　のとき、[シ]の力は復元力とならず、合力の増分は、天体Xの方向を向き、その大きさは、の場合、[シ]の結果によりに比例して増大します。宇宙船Uの円運動の半径が小さくなって行きます。



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