東工大物理'06年前期[3]
水平面上を運動する、水平な床をもつ台車がある。台車は外力によって自由に加速度を変えることができるものとする。図のように、台車の床の上には前後方向に勾配をもつ傾斜角θ の斜面が固定されている。この斜面の上には、質量mの小物体が置かれている。ここで、斜面と小物体との間の静止摩擦係数をμ，動摩擦係数を
とする。この斜面の右側には曲面がなめらかにつながっている。重力加速度をgとして、以下の問に答えよ。ただし、小物体の運動は台車の上から観測するものとする。
[A] 台車は一定の加速度α(
)で、図の左向き(正の向きとする)に運動をはじめた。 (a) 図のように、小物体を斜面上のP点に置き静かに手をはなしたところ、小物体は斜面を一定の加速度でのぼり始めた。このとき台車の上の観測者から見た、小物体に働くすべての力の向きを図示し、その名称を記入せよ。
(b) P点から斜面に沿って距離sだけのぼった地点をQ点とする。小物体がQ点を通過したとすると、Q点通過時の小物体の速さ
はいくらか。 (c) もし傾斜角θ が、ある角
以上(
)であるならば、この物体はいかなるαでも斜面をのぼることはできない。この
はいくらか。
で答えよ。 [B] 斜面はQ点の高さのところで、前後方向の断面が円弧となる曲面になめらかにつながる。この円弧の半径はrで、中心Oは台車の床と同じ面内にある。また、小物体と曲面の間には摩擦力は働かないとする。小物体がQ点を通過した直後に台車は加速をやめ、台車の運動は等速直線運動に変わった。
(d) Q点を速さ
で通過した直後の小物体が、曲面から受ける垂直抗力の大きさはいくらか。
を用いて表せ。 (e) 小物体は曲面から離れることなく、最高点のR点を速さ
で通過した。
のとり得る最大の値はいくらか。 [C] 小物体がR点で速さ
で通過した直後に、台車は加速度
の等加速度運動に移行した。その後、小物体は曲面から離れることなく、曲面上のT点を通過した。 (f) T点における小物体の速さがちょうど
に等しかったとすると、
は何度か。 
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解答 頻出タイプの力学の問題ですが、東工大の名にふさわしい難問です。
[A](a) 小物体が斜面をのぼり始めているとき、小物体に働く力は、斜面からの垂直抗力、重力、摩擦力、慣性力で、力の向きは右図。
(b) 小物体に働く力の斜面に垂直な方向のつり合い：
∴ 
･･･①
小物体の加速度をaとして、斜面に沿う方向での小物体の運動方程式： ①を代入して、
∴ 
よって、小物体の運動は等加速度運動で、等加速度運動の公式より、
∴ 
.......[答]
小物体に働く力の斜面に沿う方向の力のつり合い：
∴ 
小物体がのぼりださない条件は、静止摩擦力が最大静止摩擦力以下であることであって、
この場合にも①は成立するので、fとNに代入すると、 両辺を
(
)で割ると、 ということは、
になってしまうと、不等式②は、左辺は
以上で、右辺は
より小さく、必ず成立してしまいます。
この問題で求めるのは、αがいかなる値であっても、小物体が動き出さないときの、最小の傾斜角
の正接の値
なので、 
......[答]注．
をαの関数と見ると、
において単調減少で、
のとき、
です。
[B](d) Q点を通過した直後から小物体は円運動するようになります。
小物体が曲面から受ける垂直抗力をNとして、円運動の運動方程式(円の法線方向について)：
∴ 
......[答] 
(e) 右図のように小物体がORと角φをなす位置まで来たとき、小物体の速さがvだとすると、
円運動の運動方程式(円の法線方向について)：
･･･③この点を重力による位置エネルギーの基準にとると、R点との高さの差は
です。
この点での力学的エネルギーは運動エネルギー
のみで、R点での力学的エネルギーは運動エネルギー
と重力による位置エネルギー
の和です。
この点とR点とにおける力学的エネルギー保存： 
･･･④④より、
これを③に代入すると、 
のとり得る最大の値は、
......[答]
[C](f) 右図のように、
とします。
T点を重力による位置エネルギーの基準にとると、R点との高さの差は
です。R点での力学的エネルギーは運動エネルギー
と重力による位置エネルギー
の和です。T点での力学的エネルギーは運動エネルギー
のみです。
小物体がR点からT点まで来る間に、大きさ
の慣性力が水平方向左向きに働きます。
小物体は、台車上で見て、水平方向に
移動するので、慣性力のする仕事は、
です。T点での力学的エネルギーからR点での力学的エネルギーを引いたものが、慣性力のする仕事になります(エネルギーの原理を参照)。よって、 ∴ 
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･･･②
のとき、②式右辺は、
より、
)小物体が曲面から離れない条件は、
･･･⑤
となる全てのφで⑤が成立するためには、⑤が
において成立すればよく、
においては、
......[答]
