東工大物理'22年前期[3]
図のように鉛直方向に滑らかに動くピストンがついたシリンダーに、1モルの単原子分子理想気体が閉じ込められている。ピストンの上部には液体がためられるようになっている。また、シリンダーにはピストンの上方の位置に液体の排出口が開けられている。シリンダーは大気中に置かれ、大気圧は常に
であるとする。シリンダー下部にはシリンダー内の気体を加熱または冷却できる熱交換器が設置されている。シリンダーとピストンは断熱材でできており、ピストンの質量や厚みは無視できるものとする。さらに、シリンダー、ピストン、熱交換器の熱容量とためられた液体の蒸発は無視できるものとする。気体定数をRとして、以下の問に答えよ。
[A] はじめ、図の(i)のようにピストン上部に液体はなく、シリンダー内の気体の圧力は
，体積は
，温度は
であった。この状態を状態1とする。 熱交換器を作動させずにピストン上部にある量の液体を静かに注入したところ、液体の重さによってピストンはゆっくりと下がり、図の(ii)のように液面は排出口の下方にとどまった。このとき気体の圧力は
であった。この状態を状態2とする。
状態2から熱交換器を作動させて気体をゆっくりと膨張させ、体積を
にしたところ、液体は排出口から流出することはなく、図の(iii)のように液面がちょうど排出口の下端に達した。この状態を状態3とする。
(a) 状態2の気体の体積
を、
を用いて表せ。また、状態2の気体の温度
を、
を用いて表せ。
(b) 状態3の気体の温度
を、
を用いて表せ。
(c) 状態1から状態2を経て状態3に変化するまでに気体が吸収した熱量
をR，
を用いて表せ。ただし、熱を吸収した場合は
は正、放出した場合は負であるとする。
[B] 状態3から引き続き熱交換器を作動させて気体をゆっくりと膨張させ、排出口から液体をすべて排出すると、図の(iv)のように気体の体積は
となり、圧力は大気圧と等しくなった。この状態を状態4とする。
(d) 状態3から状態4に変化するときの、圧力と体積の変化の様子を答案用紙のp-V図に示せ。
状態3から状態4に変化する途中のある状態をAとし、状態Aの気体の圧力をp，体積をV，温度をTとする。
(e) 状態3から状態Aに変化するまでに気体が吸収した熱量
は、 と表せる。ただし、熱を吸収した場合は
は正、放出した場合は負であるとする。空欄(ア)～(ウ)に当てはまる数式を
，
のうち必要なものを用いて表せ。
(f) 状態Aの気体の温度Tは、
と表せる。空欄(エ)～(カ)に当てはまる数式を
，
のうち必要なものを用いて表せ。
(g) 状態3から状態4に変化する間に達する気体の最高温度
を、
を用いて表せ。
(h) 状態3から状態4に変化する間にある状態Bがあり、状態3から状態Bまでは気体は熱を吸収し、状態Bから状態4までは気体は熱を放出する。状態Bの気体の体積
を、
を用いて表せ。
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解答 あまり見ない状況の問題ですが、空気バネと同じ動きをします。後半はひたすら計算で体力が問われます。
∴ 
......[答]②÷①より、
∴ 
......[答]
(b) 状態2→状態3は液体に働く重力＋大気圧が変化しないので、気体の圧力も変化せず、定圧変化で、状態3の気体の圧力も
です。 状態3の状態方程式：
･･･③
③÷①より、
......[答]
......[答]
[B](d) 気体の体積は状態3で
，状態4で
なので、問題文の図から、状態3では液体の体積は
です。まず、状態3から状態4に至る途中の状態Aを考えます。状態Aにおける圧力、体積、温度をp，V，Tとすると、状態Aの状態方程式：
･･･④ピストンの断面積をSとすると、状態Aにおいてピストンに働く力は、気体がピストンを押し上げる力
，大気圧が押し下げる力
，液体の体積は
なので、液体の密度をρ，重力加速度を
とすると、液体に働く重力は
，ピストンが極めてゆっくりと等速度運動する(加速度0)として、ピストンに働く力のつり合いより、 
･･･⑤
∴ 
⑤に代入して、
∴ 
･･･⑥
のとき(状態3)
，
のとき(状態4)
より、p-V図は直線で右図太線(直線的変化を参照)。
(e) 状態3→状態Aで気体のした仕事
は、p-V図の台形の面積として、 ⑥より、
･･･⑦⑥を④に代入して、
∴ 
･･･⑧ これより、状態3→状態Aで気体の内部エネルギーの変化
は、(b)の結果と①を用いて、 よって、熱力学第一法則より、状態3→状態Aで気体が吸収した熱量
は、
に⑦を加えて、 
･･･⑨
......[ア]， 
......[イ]， 
......[ウ]
(f) ⑧で①を使って
より、 
......[エ]， 
......[オ]， 0 ......[カ]
(g) (f)の結果より、
これより、温度Tは、
(
)のとき、最大値
をとります(2次関数の最大・最小を参照)。よって、
......[答]
(h) 状態3から状態Bまで気体が熱を吸収し、状態Bから状態4まで気体が熱を放出する、ということは、気体が吸収した熱量
が状態Bにおいて最大になる、ということです。⑨より、 よって、
は
(
)のとき最大で、
......[答] 注．
はVの2次関数で、
で増加、
で減少です。増加する間、気体は熱を吸収し、減少に転じると、気体は熱を放出します。
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