東工大物理'22年前期[3]

図のように鉛直方向に滑らかに動くピストンがついたシリンダーに、1モルの単原子分子理想気体が閉じ込められている。ピストンの上部には液体がためられるようになっている。また、シリンダーにはピストンの上方の位置に液体の排出口が開けられている。シリンダーは大気中に置かれ、大気圧は常にであるとする。シリンダー下部にはシリンダー内の気体を加熱または冷却できる熱交換器が設置されている。シリンダーとピストンは断熱材でできており、ピストンの質量や厚みは無視できるものとする。さらに、シリンダー、ピストン、熱交換器の熱容量とためられた液体の蒸発は無視できるものとする。気体定数をRとして、以下の問に答えよ。

[A] はじめ、図の(i)のようにピストン上部に液体はなく、シリンダー内の気体の圧力は,体積は,温度はであった。この状態を状態1とする。
熱交換器を作動させずにピストン上部にある量の液体を静かに注入したところ、液体の重さによってピストンはゆっくりと下がり、図の(ii)のように液面は排出口の下方にとどまった。このとき気体の圧力はであった。この状態を状態2とする。
状態
2から熱交換器を作動させて気体をゆっくりと膨張させ、体積をにしたところ、液体は排出口から流出することはなく、図の(iii)のように液面がちょうど排出口の下端に達した。この状態を状態3とする。

(a) 状態2の気体の体積を、を用いて表せ。また、状態2の気体の温度を、を用いて表せ。

(b) 状態3の気体の温度を、を用いて表せ。

(c) 状態1から状態2を経て状態3に変化するまでに気体が吸収した熱量Rを用いて表せ。ただし、熱を吸収した場合はは正、放出した場合は負であるとする。

[B] 状態3から引き続き熱交換器を作動させて気体をゆっくりと膨張させ、排出口から液体をすべて排出すると、図の(iv)のように気体の体積はとなり、圧力は大気圧と等しくなった。この状態を状態4とする。

(d) 状態3から状態4に変化するときの、圧力と体積の変化の様子を答案用紙のp-V図に示せ。

状態3から状態4に変化する途中のある状態をAとし、状態Aの気体の圧力をp,体積をV,温度をTとする。

(e) 状態3から状態Aに変化するまでに気体が吸収した熱量は、
と表せる。ただし、熱を吸収した場合はは正、放出した場合は負であるとする。空欄()()に当てはまる数式をのうち必要なものを用いて表せ。

(f) 状態Aの気体の温度Tは、
と表せる。空欄()()に当てはまる数式をのうち必要なものを用いて表せ。

(g) 状態3から状態4に変化する間に達する気体の最高温度を、を用いて表せ。

(h) 状態3から状態4に変化する間にある状態Bがあり、状態3から状態Bまでは気体は熱を吸収し、状態Bから状態4までは気体は熱を放出する。状態Bの気体の体積を、を用いて表せ。

解答 あまり見ない状況の問題ですが、空気バネと同じ動きをします。

[A] 状態1の状態方程式: ・・・@

(a) 状態2の状態方程式: ・・・A
単原子分子理想気体なので比熱比はです。状態1→状態2の過程は断熱変化なので、ポアッソンの関係式より、
 ∴ ......[]
A÷@より、 ∴ ......[]

(b) 状態2→状態3は液体に働く重力+大気圧が変化しないので定圧変化で、状態3の気体の圧力もです。
状態3の状態方程式: ・・・B
B÷@より、
......[]

(c) 状態1→状態2は断熱変化なので気体が吸収した熱量は0です。状態2→状態3は定圧変化で、定圧モル比熱の式より、
......[]

[B](d) 先に状態Aを考えます。状態Aにおける圧力、体積、温度をpVTとすると、状態Aの状態方程式: ・・・C
ピストンの断面積をSとすると、状態Aにおいてピストンに働く力は、気体がピストンを押し上げる力,大気圧が押し下げる力,液体の体積はなので、液体の密度をρ,重力加速度をとすると、液体に働く重力は,ピストンが極めてゆっくりと等速度運動する(加速度0)として、ピストンに働く力のつり合いより、
 ・・・D
状態1において、ピストンに働く力のつり合いより、
 ∴
Dに代入して、

 ・・・E
のとき(状態3)のとき(状態4)より、p-V図は直線で右図太線。

(e) 状態3→状態Aで気体のした仕事は、p-V図の台形の面積として、
Eより、
 ・・・F
EをCに代入して、
 ・・・G
これより、状態3→状態Aで気体の内部エネルギーの変化は、(b)の結果と@を用いて、
よって、状態3→状態Aで気体が吸収した熱量は、Fより、
 ・・・H
......[],  ......[],  ......[]

(f) Gで@を使ってより、
......[],  ......[], 0 ......[]

(g) (f)の結果より、
これより、温度Tは、 ()のとき、最大値をとります。よって、 ......[]

(h) 状態3から状態Bまで気体が熱を吸収し、状態Bから状態4まで気体が熱を放出する、ということは、気体が吸収した熱量が状態Bにおいて最大になる、ということです。Hより、
よって、 ()のとき最大で、 ......[]



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