2次曲線の分類(その2)
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2次曲線の分類のつづきです。
(3) 2次曲線の方程式は一般的に、
･･･(＊) と表すことができます。
(＊)が曲線を表すときは、直線や1点になる場合を除くと、楕円か双曲線か放物線に限られることを確かめてみます。
まず、(＊)を行列を用いて書き直します(行列、行列の積を参照)。
より、
，
(t付きは転置行列を意味します、列ベクトルと行ベクトルの入れ替えです)，
，
として、(＊)は、
と書けます。ところで、
は実数を成分とする対称行列(
を満たす行列、対角成分を境にして右上と左下に対称に数字が並ぶ)なので、直交行列M(
，つまり、
を満たす行列、2次の正方行列では、回転移動を表す行列と、原点を通る直線に関する折り返しを表す行列に限られる、
1次変換(その2)を参照)によって、対角化することができます(スペクトル分解を参照)。つまり、
(p，qは、Aの固有値)として、
となるような、直交行列Mをとることができます(Mは、Aの固有ベクトルで大きさ1のベクトルを横に並べた行列)。
このとき、
，つまり、
となる
をとると、
より、
ここで、
，つまり、
，
とおくと、
･･･⑤
こうして、(＊)の中にあったxyの項を消すことができます。Mは回転移動または折り返しを表すので、⑤においても、曲線(直線)の形状には変化はありません。
ここで、
(逆行列を参照)
(i) p，qが同符号で、
，つまり、
のとき、⑤は、
・
のとき、(＊)は、楕円を表します。
・
のとき、(＊)は、1点
となります。
・
のとき、(＊)は、何も表しません。
(ii) p，qが異符号で、
，つまり、
のとき、楕円のときと同様にして、
・
のとき、(＊)は、双曲線を表します。
・
のとき、(＊)は、
で交わる2直線を表します。
(iii) p，qのいずれか一方、あるいは、両方が0で、
，つまり、
のとき、
・
，
のときは、
なら、
で(＊)は放物線を表します。
のときは、
判別式：
として(2次方程式を参照)、
のときには、(＊)は平行2直線を表し、
のときには、(＊)は1直線を表し、
のときには、(＊)は何も表しません。
・
，
のときも、同様です。
・
のときには、
(＊)は1直線を表します。
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