東北大物理'08年前期[2]

東北大物理'08年前期[2]

充電されたコンデンサーに抵抗やコイルをつないで放電させると、コンデンサーに蓄えられていたエネルギーは、抵抗によって生じる熱やコイルがつくる磁場のエネルギーに変化する。ここでは、コンデンサーA(電気容量

)，コンデンサーB(電気容量

)，抵抗(電気抵抗R)、コイル(自己インダクタンスL)、直流電源(電圧

)を含む回路を考え、抵抗とコイルの働きを比較する。電源の内部抵抗や、回路の導線およびコイルの電気抵抗は無視できるものとする。また、電磁波の放射は考えなくてよい。このとき、以下の問いに答えよ。また、結果だけでなく、考え方や計算の過程も記せ。

問1　図1に示す回路を考える。初期状態でスイッチ

，

は開いており、コンデンサーA，Bに電荷は蓄えられていなかった。

(a) 時刻

においてスイッチ

を閉じ、コンデンサーAの充電を開始した。抵抗を流れる電流Iの時間変化のおおよその形を、時刻

より充電がほぼ完了するまでの範囲でグラフ1に実線で描け。また、時刻

での電流の大きさを

，Rを用いて縦軸に記せ。

(b) 問1(a)において電気抵抗値がRより大きな抵抗を用いた場合、電流Iの時間変化にはどのような違いが現れるか。電流の時間変化のおおよその形を問1(a)と比較できるようにグラフ1に破線で描け。

を開いてからスイッチ

を閉じた。その後、十分に時間が経過したときのコンデンサーAの電気量

と、コンデンサーBの電気量

を、それぞれ、

，

，Rの中から必要なものを用いて表せ。

(d) 問1(c)では、コンデンサーAは放電し、エネルギーを放出する。そのエネルギーの一部は抵抗でジュール熱に変化し、残りはコンデンサーBに移る。ジュール熱として最終的に失われるエネルギーの大きさ

を、

，

を用いて表せ。

問2　次に、コイルを含む図2に示す回路を考える。初期状態でスイッチ

，

は開いており、コンデンサーA，Bには電荷は蓄えられていなかった。

(a) スイッチ

を閉じてコンデンサーAを充電した後、スイッチ

を開いた。その後、時刻

においてスイッチ

を閉じたところ、コイルに電流が流れた。その後、電流は時刻

で最大値をとり、減少に転じた。電流Iの時間変化を表すグラフとして正しいと考えられるものを、図3の(ア)～(エ)の中から一つ選び、記号で答えよ。また、時刻

における電流Iの値とその時間変化に留意して、理由を記せ。

(b) 時刻

において、コンデンサーA，コンデンサーBにかかるそれぞれの電圧

，

を

であることを考慮して求め、それらを

，

，Lの中から必要なものを用いて表せ。

において、コンデンサーBに蓄えられているエネルギー

とコイルに蓄えられているエネルギー

を、それぞれ、

，

，Lの中から必要なものを用いて表せ。

(d) 時刻

以降において電流Iが最初に0になった時刻にスイッチ

を開いた。このとき、コンデンサーBに蓄えられていた電気量

を、

，

，Lの中から必要なものを用いて表せ。

(e) この一連の操作で、充電によって蓄えられたコンデンサーAのエネルギーをすべてコンデンサーBに移すために必要な

と

の間の関係式を求めよ。

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解答　抵抗とコイルを比較しているのですが、なかなか興味深い問題です。
問1の最初は、微分方程式などを解く必要はありません。時間のムダです。「コンデンサーは、スイッチ切り替え直後に導通したのと同様の動作を行い、充分時間経過して充電が完了してしまうと電流を流さない。コイルは、スイッチ切り替え直後に電流を流さず、充分時間経過すると単なる導線として動作する。また、その間は指数関数的な変化を行う。」という基礎事項(コンデンサーの過渡現象、コイルの過渡現象を参照)を知っていればよいのです。

問1(a) スイッチ

を閉じた直後は、コンデンサーは導通したのと同様の動作を行います。オームの法則より、時刻

における電流は

です。充電がほぼ完了すると電流は0に近づいていきます。その間は指数関数的に変化し、電流Iの時間変化は右図グラフ1の実線のようになります。

(b) 時刻

における電流は抵抗Rの場合よりも小さくなります。その後はコンデンサーに流れ込む電流が少ないので、充電完了までの時間がかかるようになります。そのことが明瞭になるように、Rよりも大きな抵抗を用いた場合の電流変化のグラフは、(a)の実線と途中で交わるように描くことにより、右図グラフ1の破線のようになります。