東大理系数学'23年前期[3]

aを実数とし、座標平面上の点を中心とする半径1の円の周をCとする。

(1) Cが、不等式の表す領域に含まれるようなaの範囲を求めよ。
(2) a(1)で求めた範囲にあるとする。Cのうちかつを満たす部分をSとする。S上の点Pに対し、点PでのCの接線が放物線によって切り取られてできる線分の長さをとする。となるS上の相異なる2QRが存在するようなaの範囲を求めよ。


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解答 計算を複雑化させないように、どんどん変数を置き換えていく工夫が必要です。なお、2次関数円と放物線の位置関係を参照してください。

(1) Cが、不等式の表す領域に含まれるとき、曲線上の全ての点 (t:実数)との距離は1より大きくなります。よって、

これが全ての実数t で成立するためには、左辺はで最小値をとる(2次関数の最大・最小を参照)ので、
つまり、であることが必要十分です。 ......[]
別解.放物線:法線を考えます。における法線の傾きはであれば、
のとき、における法線はy軸、即ちで、この法線は点を通ります。との距離はaで、この距離が1より大きいとき、少なくとも ・・・@
のとき、における法線は、
これがを通るとき、
@より少なくともなので、
との距離が
1より大きいので、
 ∴

(2) Cの接線とCとの接点がの範囲にある(接点のx座標は、)ので、接線がx軸に垂直になることはなく、接線の傾きmの範囲にあり、接線をとおくことができます。
直線が円Cの接線であるために、円Cの中心と直線との距離は1 (円と直線の位置関係を参照)です。つまり、
また、接点がの範囲にあることから、直線のy切片はaよりも小さく、,従って、
 ∴  ・・・@
接線の式と放物線の式を連立すると、

接線はx軸に垂直になることはなく、接線と放物線は必ず2交点を持つので、この2次方程式は相異なる2実数解を持ちます。この2実数解をαβとする()と、解と係数の関係より、
 ・・・A
PでのCの接線が放物線によって切り取られてできる線分の長さは、放物線上の2の距離であって、その2乗は、

 ( A)
 ( @)
とおくと、よりであって、
とおくと、
 ・・・B
とすると、においては
2次方程式の判別式:
とすると、
()
においてはですが、になるとです。そこで、aの値について場合分けします。
(i) のとき、Bより、
このとき、においてより、pについて単調増加です。mについて単調増加、接線の傾きmは接点Px座標()について単調増加より、は接点Px座標に対して単調であり、の範囲にある異なる2つのxについての関数値が等しくなることはありません。・・・()
(ii) のときも、であって、は単調増加で、この場合も異なる2つのxについて関数値が等しくなることはありません。
(iii) のとき、Bより、より、は、の範囲に、それぞれ実数解γδを持ちます()。増減表は以下(関数の増減を参照)
p 1 γ δ 
00
 

増減表より、を満たす任意のについて、となるが必ず存在します。このとき、であり、に対応する接点Qに対応する接点Rについて、,即ち、となります。つまり、となるS上の相異なる2QRが存在します。
よって、求めるaの範囲は、 ......[]



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