を実数とし、座標平面上の点を中心とする半径

(1) Cが、不等式の表す領域に含まれるようなaの範囲を求めよ。

(2) aは(1)で求めた範囲にあるとする。Cのうちかつを満たす部分をSとする。S上の点Pに対し、点PでのCの接線が放物線によって切り取られてできる線分の長さをとする。となるS上の相異なる2点Q，Rが存在するようなaの範囲を求めよ。

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(1) Cが、不等式の表す領域に含まれるとき、曲線上の全ての点 (t：実数)ととの距離は1より大きくなります。よって、

これが全ての実数t で成立するためには、左辺はで最小になるので、

つまり、であることが必要十分です。 ......[答]

別解．放物線：の法線を考えます。，における法線の傾きはであれば、

におけるの法線はy軸、即ちで、これは点を通ります。ととの距離はaで、この距離が1より大きいとき、　･･･�@
のとき、法線は、
これがを通るとき、
�@より少なくともなので、
ととの距離が1より大きいので、

　∴

(2) 円Cとの接点が，の範囲にある(接点のx座標は、)ので、接線がx軸に垂直になることはなく、接線の傾きmはの範囲にあり、接線をとおくことができます。

直線が円Cの接線であるために、円Cの中心と直線との距離は1です。つまり、

また、接点が，の範囲にあることから、直線のy切片はaよりも小さく、，，従って、

　∴ 　･･･�@

接線の式と放物線の式を連立すると、

接線はx軸に垂直になることはなく、接線と放物線は必ず2交点を持つので、この2次方程式は相異なる2実数解を持ちます。この実数解をα，βとする()と、解と係数の関係より、

，　･･･�A

点PでのCの接線が放物線によって切り取られてできる線分の長さは、放物線上の2点，の距離であって、その2乗は、

　(∵ �A)
　(∵ �@)

とおくと、よりであって、

　･･･�B

とすると、においては
2次方程式の判別式：
とすると、 ()
においてはですが、になるとです。
のとき、�Bより、
このとき、においてより、はpについて単調増加です。はmについて単調増加、接線の傾きmは接点Pのx座標()について単調増加より、は接点Pのx座標に対して単調であり、の範囲の異なる2つのxについて関数値が等しくなることはありません。･･･(＊)
のときも、であって、は単調増加で、この場合も2つのxについて関数値が等しくなることはありません。
のとき、�Bより、，，より、は、，の範囲に、それぞれ実数解γ，δを持ちます。増減表は以下。

p	1		γ		δ
	＋	＋	0	−	0	＋

増減表より、異なる2つの値pに対して等しい関数値となり、上記(＊)の検討より、かつとなるεをとることができて、を満たすに対応する接点Q，を満たすに対応する接点Rについて、，即ち、となるS上の相異なる2点Q，Rが存在します。よって、求めるaの範囲は、 ......[答]

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