東大理系数学'23年前期[3]
aを実数とし、座標平面上の点
を中心とする半径1の円の周をCとする。
(1) Cが、不等式
の表す領域に含まれるようなaの範囲を求めよ。 (2) aは(1)で求めた範囲にあるとする。Cのうち
かつ
を満たす部分をSとする。S上の点Pに対し、点PでのCの接線が放物線
によって切り取られてできる線分の長さを
とする。
となるS上の相異なる2点Q，Rが存在するようなaの範囲を求めよ。
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解答 計算を複雑化させないように、どんどん変数を置き換えていく工夫が必要です。なお、2次関数、円と放物線の位置関係を参照してください。
(1) Cが、不等式
の表す領域に含まれるとき、曲線
上の全ての点
(t：実数)と
との距離は1より大きくなります。よって、 つまり、
であることが必要十分です。
......[答] 別解．放物線：
の法線を考えます。
，
における法線の傾きは
であれば、
のとき、
の
における法線はy軸、即ち
で、この法線は点
を通ります。
と
との距離はaで、この距離が1より大きいとき、少なくとも
･･･①
のとき、
における法線は、
これが
を通るとき、
①より少なくとも
なので、
と
との距離が1より大きいので、
∴ 
(2) 円Cの接線とCとの接点が
，
の範囲にある(接点のx座標は、
)ので、接線がx軸に垂直になることはなく、接線の傾きmは
の範囲にあり、接線を
とおくことができます。 直線
が円Cの接線であるために、円Cの中心
と直線との距離は1 (円と直線の位置関係を参照)です。つまり、 また、接点が
，
の範囲にあることから、直線のy切片はaよりも小さく、
，
，従って、 
∴ 
･･･①接線の式
と放物線の式
を連立すると、 接線はx軸に垂直になることはなく、接線と放物線は必ず2交点を持つので、この2次方程式は相異なる2実数解を持ちます。この2実数解をα，βとする(
)と、解と係数の関係より、 
，
･･･②点PでのCの接線が放物線
によって切り取られてできる線分の長さ
は、放物線上の2点
，
の距離であって、その2乗は、 とおくと、
･･･③
とすると、
においては
2次方程式
の判別式：
とすると、
(
)
においては
ですが、
になると
です。そこで、aの値について場合分けします。(i) 
のとき、③より、
このとき、
において
より、
はpについて単調増加です。
はmについて単調増加、接線の傾きmは接点Pのx座標(
)について単調増加より、
は接点Pのx座標に対して単調であり、
の範囲にある異なる2つのxについて
の関数値が等しくなることはありません。･･･(＊) (ii) 
のときも、
であって、
は単調増加で、この場合も異なる2つのxについて関数値が等しくなることはありません。 (iii) 
のとき、③より、
，
，
より、
は、
，
の範囲に、それぞれ実数解γ，δを持ちます(
)。増減表は以下(関数の増減を参照)。 増減表より、
を満たす任意の
について、
，
となる
が必ず存在します。このとき、
であり、
に対応する接点Q，
に対応する接点Rについて、
，即ち、
となります。つまり、
となるS上の相異なる2点Q，Rが存在します。 よって、求めるaの範囲は、
......[答]
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(∵ ②)
(∵ ①)
とおくと、
より
であって、
で最小値
をとる