三角比・三角関数・指数関数・対数関数演習問題

京都府立大数学'09年[1]


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定数aを実数とし、とする。関数
とする。以下の問いに答えよ。
(1) とするとき、tの値の範囲を求めよ。
(2) yをtの式で表せ。
(3) がつねに成り立つように、aの値の範囲を求めよ。
(4) 方程式が3個以上の異なる実数解をもつように、aの値の範囲を求めよ。
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首都大理系数学'08年前期[4]
以下の問いに答えよ。
(1) を満たす実数x，yに対して、次の等式が成り立つことを示せ。
(2) を満たす実数x，y，zに対して、次の等式が成り立つことを示せ。
(3) を満たす実数x，y，z，wに対して、等式
は必ずしも成り立たないことを示せ。
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慈恵医大数学'08年[2]
，
とする。aとbの値を求めたい。以下の設問(1)，(2)，(3)に答えよ。
(1) 角θ (ラジアン)が
をみたすとき、解のひとつがであるような4次の方程式を求めよ。
(2) のとき、が解のひとつであるような3次の方程式を求めよ。
(3) 設問(2)の結果を用いて、aおよびbの値を求めよ。
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岩手大教育数学'09年[1]
次の問いに答えよ。
(1) 正弦と余弦の加法定理を用いてを示せ。
(2) 直角三角形ではない三角形の内角の大きさを、それぞれα，β，γとするとき、
の値は、α，β，γによらずに一定であることを示し、その値を求めよ。
(3) のとき、の値を求めよ。
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首都大理系数学'09年前期[2]
以下の問いに答えよ
(1) ，，を満たす実数x，yが存在するようなaの値を求めよ。
(2) 正の実数b，c，zが
を満たすとき、のとり得る値の範囲を求めよ。
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九大文系数学'08年[4]
放物線C：とをみたす実数を考える。このとき、次の問いに答えよ。
(1) C上の点における接線とx軸との交点のx座標をとするとき、をを用いて表せ。
(2) (1)で求めたに対して、C上の点における接線とx軸との交点のx座標をとする。この操作を繰り返してできる数列を，，･･･，，･･･とする。このとき、すべてのnに対して、を示せ。
(3) とおくとき、すべてのnに対して、を示せ。
(4) のとき、となるnの値を1つ求めよ。ただし、必要があれば、をとして計算してよい。
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名工大数学'10年前期[1]
四角形ABCDは次の条件を満たす。
(i)
(ii) ，
線分ACと線分BDの交点をEとする。線分ABを3等分して、点Aに近い分点をMとし、点Bに近い分点をNとする。，とおくとき、次の問いに答えよ。
(1) 線分の長さの比の値を求めよ。
(2) の値を求めよ。
(3) αとβ の大小を判定せよ。
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九大数学'10年前期[1]
三角形ABCの3辺の長さを，，とする。実数を与えたとき、Aを始点としBを通る半直線上にとなるように点Pをとる。次の問いに答えよ。
(1) をa，b，c，tを用いて表せ。
(2) 点Pがを満たすとき、tを求めよ。
(3) (2)の条件を満たす点Pが辺AB上にちょうど2つあるとき、とに関する条件を求めよ。
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広島大理系数学'10年後期[3]
に対して ()を考える。以下の問いに答えよ。
(1) のとき、が成り立つことを示せ。
(2) 等式を示せ。
(3) が成り立つことを示せ。
(4) が成り立つことを示せ。
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群馬大医数学'10年[2]
(1) nを自然数とし、，とする。
(ア) を満たす自然数mに対し、を証明せよ。
(イ) を満たすnを求めよ。
(2) 実数x，yが連立方程式，を満たすとき、の最小値を求めよ。
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早大教育数学'10年[3]
座標平面上で、，，を、それぞれ、中心が，，，半径が2，1，1である円周とする。点Pは点を出発点とし、円周上を反時計回りに等速で秒で一周する。点Qは点を出発点とし、まず円周上を反時計回りに等速でa秒で一周し、続いて円周上を時計回りに等速でa秒で一周する。
点P，Qが同時に出発するとき、線分PQの長さの最大値と最小値を求めよ。ただし、aは正の定数である。
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横浜国大理工数学'11年前期[2]
次の問いに答えよ。
(1) において、を満たすxを求め、において、，の大小を比較せよ。
(2) ，，のとき、となることを示し、において、を示せ。
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