東工大物理'21年前期[1]
水平な床の面に座標軸x，yをとり、その上で大きさが無視できる質量mの3つの小球A，B，Cを、長さLの2本の糸でB－A－Cの順につないだものをすべらせる実験を行う。糸は伸び縮みせず、その質量は無視でき、床と小球の間に摩擦はないものとする。また、床は十分広く、運動の途中で小球が床の端に達することはない。
[A] 小球Aを原点に、小球Bと小球Cをy軸上の
と
の位置に、それぞれ静止させる。時刻
において、図1のように、小球Aにのみx軸の正の向きに速さ
を与えて運動を開始させた。その後の小球の運動を観察したところ、運動開始直後は小球Bと小球Cの速度は0であり、その後小球Bと小球Cは近づいていき、やがてx軸上のある点で衝突した。運動の開始から衝突までの間、糸はたるむことはなく、小球Aから見ると、小球Bと小球Cは小球Aを中心とする円運動をした。以下の問に答えよ。
(a) 小球Bと小球Cが衝突する直前における、小球Bの速度のx成分
を
を用いて表せ。
(b) 小球Bと小球Cが衝突する直前における、小球Bの速度のy成分
を
を用いて表せ。
(c) 運動開始直後における、小球Bにつながれた糸の張力の大きさTを
，m，Lを用いて表せ。
(d) 小球Bと小球Cが衝突する直前における、小球Bにつながれた糸の張力の大きさ
を
，m，Lを用いて表せ。
[B] 図2に示すように、小球Aを原点に、小球Bと小球Cをそれぞれ座標
と
(
)の点に配置し、静止させる。時刻
において、小球Aにx軸の正の向きに一定の大きさFの力を加える。以下のように、θの値を変えて実験1と実験2を行い、小球A，B，Cの運動を記録した。いずれの場合にも糸がたるむことはなかった。
実験1：
となるように、すなわち小球Bと小球Cが接するように、小球を配置し静止させる。そして
において小球Aにx軸の正の向きに一定の大きさFの力を加えたところ、小球Bと小球Cは接したまま、3つの小球はx軸の正の向きに同じ加速度で等加速度運動した。その加速度の大きさは
であった。
実験2：θをある値
(
)にとり、
において小球Aにx軸の正の向きに一定の大きさFの力を加えたところ、小球Bと小球Cは時刻
においてはじめて衝突した。衝突直前の小球Bと小球Cの速度ベクトルのなす角は
であった。 
図3は実験1と実験2における小球Aのx座標の時間変化を
においてグラフにしたものである。ただし、グラフは概形である。
これらの実験における小球の運動に関する、以下の問に答えよ。
(e) 実験1における小球Aの加速度の大きさ
をmとFを用いて表せ。
(f) 時刻
における実験1の小球Aの速さをvとする。実験2の小球Bの衝突直前における速さwをvを用いて表せ。
(g) 時刻
における実験1と実験2の小球Aのx座標をそれぞれ
および
とする。比
を求めよ。 
(h) 実験2の
における小球Aの加速度の大きさ
のグラフの概形として最も適当なものを図4の(ア)～(シ)のうちから選び、記号で答えよ。
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解答 答を眺めるだけでは簡単そうに見えますが、(f)，(g)など、どうすれば解答に至るのかと思うくらいに難しく、考えにくい相対運動の問題です。(a)から丁寧に慎重に検討を進める必要があります。
[A](a) 小球Aから見て小球B，Cは、Aを中心とする円運動をするので、B，Cが衝突直前にx軸まで来たとき、Aから見たB，Cの相対速度はx軸に垂直で、相対速度のx方向成分は0です。このとき外部から見て、B，Cの速度のx成分はAの速度のx成分
に一致します。運動開始時点と衝突直前とのx方向の運動量保存より、
∴ 
......[答]
(b) 衝突直前の小球Bの運動エネルギーは、
です。小球Cの運動エネルギーも同じです。運動開始時点ではB，Cの運動エネルギーは0です。小球Aの運動エネルギーは、運動開始時点では
，衝突直前では
，力学的エネルギー保存より、 (a)の結果を用いると、Bの速度はy軸負方向を向いていて
より、 
∴ 
......[答]
(c) Aから見てB，CはAを中心とする円運動をするので、運動開始時点で外部から見たAの速度がx軸方向に
であれば、外部から見たB，Cの速度は0なので、Aから見たB，Cの速度はx軸方向に
です。Aから見てBは、張力Tを向心力として半径Lの円運動をするので、運動方程式より、 
......[答]
(d) 衝突直前に、B，Cとつながれた2本の糸から受ける張力
を受けるAの運動方程式は、Aの加速度をaとして、 衝突直前に、Aから見て、y軸負方向を向くBの速さは
，また、Bはx軸方向に慣性力
を受けます。Aから見てBは、張力
と慣性力
を受けて半径Lの円運動をするので、運動方程式より、 
∴ 
......[答]
[B] ここでは、[A]の考察を踏まえた上で、外部から見て考えます。
∴ 
......[答]
(f) 実験1において、時間
の間に一定の大きさFの力を受けて小球A，B，Cの速さは0からvになるので、x方向について運動量の原理より、
･･･①実験2において、衝突直前にB，Cの速度ベクトルのなす角が
であることから、Bの速度がx軸となす角は
で、速度のx方向成分は
です。糸につながれてx軸正方向に引っ張られているので、速度のx成分は正です。Cの速度のx方向成分も
です。衝突直前にAB間、AC間の糸はぴんと張っているので、このときx軸正方向のAの速度はB，Cの速度のx成分に一致し
です(
より大きければ糸は切れます。
より小さければ糸はたるみます)。よって、x方向について、運動量の原理より、 
･･･②①，②より、
∴ 
......[答]
(g) (f)と同様に考えて、実験1において、エネルギーの原理より、一定の大きさFの力がした仕事は、運動エネルギーの増加分に等しく、 
･･･③同様に、実験2において、衝突直前のB，Cの運動エネルギーは
，Aの運動エネルギーは
です。(f)の結果を用いると、エネルギーの原理より、 
･･･④④÷③より、
......[答]
(h) (f)の結果より、実験2において、時刻
における小球Aのx軸正方向の速さは、
となり、実験1の時刻
における速さに一致します。ということは、図3の実験1，実験2のx-t グラフで、
における接線の傾き(
における速さ)は等しくなります。
実験1ではAの運動は加速度
の等加速度運動なので、v-t グラフは原点を通る傾き
の直線(点
を通る)になります。実験2のv-t グラフは、
において、実験2のx座標が実験1のx座標よりも大きいので、原点と点
を結ぶ上に凸な曲線になります(この曲線を積分したものがx-t グラフ。接線の傾きは
近辺では
よりも大きく、
近辺では
よりも小さくなります)。
実験1の
-t グラフ(図4の点線)は、
でt 軸に平行な直線ですが、実験2の
-t グラフ(図4の実線)は、
近辺では
となり、
のどこかで
となり(実験2のv-t グラフの接線が実験1のグラフと平行になる)、
近辺では
となります。こうなっているのは、(ア) ......[答]
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