東大理系数学'26年前期[3]
座標空間内の原点を中心とする半径5の球面をSとする。S上の相異なる3点P，Q，Rが次の条件を満たすように動く。
条件：P，Qはxy平面上にあり、三角形PQRの重心はG
である。 以下の問いに答えよ。
(1) 線分PQの中点Mの軌跡をxy平面上に図示せよ。
(2) 線分PQが通過する範囲をxy平面上に図示せよ。
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解答 (2)は、計算も複雑な難問です。空間図形の問題ですが、P，Qがxy平面上の点で、重心のz座標が1なので、ほぼ平面上の問題として解決します。
P，Qのz座標は0で、Rのz座標をzとすると、重心Gのz座標は、
となり、
です。Rのx座標、y座標をx，yとして、RはS上の点(球面のベクトル方程式を参照)なので、
･･･①
P，QはS上の点で、そのz座標は0なので、
･･･②
(1) xy平面上で、PQの中点Mの座標を
とすると、重心Gは、RMを2：1に内分する点なので、Rの座標を
として、 ①に代入すると、
4で割ると、
･･･③Mの軌跡は、
を中心とする半径2の円です。ただし、PQの中点はS内部に存在するので、円周上の点
は除かれます。図示すると右図太線(白マルを除く)。
(2) 円③上の点Mの座標は、
，
とおく(円の媒介変数表示を参照)と、
(
)とおくことができます。P，Qは円②上の点、MはPQの中点なので、△OPMと△OQMにおいて、
，
，OM共通、より、△OPM≡△OQMです。よって、
，即ち、直線OMと直線PQは直交します。
直線OMの傾きは
，
であれば、直線PQの傾きは
となりますが、Mは
には来ないので
，また、
の場合を除きます。 
のときMは
に来ます。
より、線分PQ上の点は、直線
上の円②内部または周上の点です。 ･･･④
，
，つまり、
，
のとき、直線PQは、傾き
で、M
を通るので、その方程式は、となります。
ここで、xを固定してθを動かしたときにyが取り得る値の範囲を考えます。微分計算をラクにするために、
，
･･･⑥とおきます。線分PQ上の点はS内に位置するので
であり、
です。
また、
つまり
のとき、 となるのは
のときです。
⑤は、
となり、
とおき、微分すると、 
･･･⑦以下、まず
のとき、つまり、
のときを考えます。
とすると、
，こうなるθは、
の範囲、
の範囲に各々1個ずつ(三角関数の方程式を参照)あります。
の範囲にある方をα、
の範囲にある方をβとすると、より、
，
なので、
または
ただし、線分PQは円②内部または周上に位置するので、②より、
を満たします。つまり、yの範囲は、 
または
これを満たすyが存在するために、
である必要があります。二乗すると、
より、線分PQの通過範囲は
の範囲に存在します。
においては、
が境界線となるのですが、両辺を二乗すると、これは、双曲線です。このときの線分PQの通過範囲は、双曲線⑧から外側であって円②内部または周上になります(
の範囲に存在します)。 ･･･⑨
，つまり
のとき、
となります(三角関数のグラフを参照)が、
かつ
において、
は0以外のすべての実数を取り得ます。
のとき直線⑤は
となりますが、この直線は
のとき
です。
のとき直線⑤は
となりますが、この直線は
のとき
です。
即ち、yは0も含めて全実数を取り得ます。直線
上で円②内部または周上になります。 ･･･⑩
のときは
ですが、
となり、
を満たすθが存在しません。
のときは
ですが、
つまり
となり、やはり、
を満たすθが存在しません。どちらの場合も
となり
で
は単調減少になります。
，
，
，
となるので、
は全実数を取り得ます。円②内部または周上になります。 ･･･⑪
の④，
または
の⑪，
の⑩は、円②内部または周上になります。つまり、
においては、円②内部または周上です。
(
)では線分PQができないので除かれます。
の⑨では、双曲線⑧から外側で円②内部または周上です(領域を参照)。
以上より、線分PQの存在範囲は、
においては、双曲線
から外側であってかつ円
から内側、
においては、円
から内側です。図示すると右図黄緑色着色部(境界線を含んで白マルを除く)。
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，
，
，
とすると、
･･･⑤
，
，
･･･⑧
においては、
，
なので、
です
においては、
，
なので、
です。
の取り得る値の範囲は、