場合の数・確率・二項定理演習問題
九大理系数学'09年後期[4]
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点Qは次の規則で数直線上の負でない整数の上を正の方向へ動くものとする。ただしnは負でない整数とする。
(a) 時刻0では点Qは原点にある。
(b) 点Qが時刻Tで座標
にあるとき、時刻
には確率
で座標
へ移動し、確率
で座標
へ移動する。 (c) 点Qが時刻Tで座標
にあるとき、時刻
には確率1で座標
へ移動する。 点Qが時刻Tで座標jにある確率を
と書くことにする。以下の問いに答えよ。
(1) すべての自然数jに対して
を求めよ。 (2) T，jが自然数であるとき、
となる条件をT，jを用いて表せ。 (3) Tが自然数であるとき
を求めよ。 [解答へ]
大阪教育大数学'09年[4]
1個のさいころをn回投げるとき、k回目に出た目を
とし、それらの積
を
とする。そして
がr桁の自然数となる確率を
とする。次の問いに答えよ。
(1) 
のとき、
をnを用いて表せ。 (2)(i) 1個のさいころをn回投げるとき、1以外の目がちょうどs回出る確率を
とする。
をsを用いて表せ。 (ii) 
を求めよ。 [解答へ]
九州工大情報数学'09年[4]
箱の中に、数字の1を記入したカード、2を記入したカード、3を記入したカードがそれぞれn枚、合計
枚入っている。ただし、
であり、またカードの裏側には何も書かれていないものとする。以下の問いに答えよ。
(1) 箱の中からカードを1枚取り出し、数字を見ないで伏せておく。次に箱の中から取り出したカードの数字が1である確率を求めよ。
(2) 箱の中から2枚のカードを同時に取り出したとき、カードの数字が異なる確率をnを用いて表せ。
(3) 箱の中から3枚のカードを同時に取り出したとき、カードの数字がちょうど2種類である確率をnを用いて表せ。
(4) 箱の中から4枚のカードを同時に取り出したとき、カードの数字がちょうど2種類である確率をnを用いて表せ。
[解答へ]
岐阜薬科大数学'09年[5]
鎖状高分子は、単量体と呼ばれる単位の繰り返しから成っていて、つながった単量体が位置を変えることにより、種々の形をとる。N個の単量体からなる鎖状高分子の形を、次の数学モデルで考察した。
① 鎖状高分子のN個の単量体は平面上の位置
(x，yは整数)をとり、結合している単量体間の距離が1である。 ② 1番目の単量体は、位置
にある。 ③ 連続してつながる3個の単量体は、直線、右回り
，左回り
のいずれかの位置にある。例えば、2番目の単量体が位置
にあるとき、3番目の単量体は、
，
，
のいずれかの位置にある。 ④ いずれの単量体も他の単量体と同じ位置にあることはない。
なお、N個の単量体をもつ2つの鎖状高分子において、各単量体が同じ位置と順序で重なる場合に同じ形とみなす。次の問いに答えよ。
(1) 10個の単量体からなる鎖状高分子で、10番目の単量体が位置
にあるとき、この鎖状高分子は、何通りの形をとりえるか。10番目の単量体が位置
にあるとき、何通りの形をとりえるか。10番目の単量体が位置
にあるとき、何通りの形をとりえるか。 (2) 2番目の単量体が位置
にある5個の単量体からなる鎖状高分子を考える。鎖状高分子の可能な形は、すべて等しい頻度で現れるものとする。1番目の単量体と5番目の単量体の距離をdとするとき、
が2となる確率を求めよ。また、
の平均値(期待値)を求めよ。 [解答へ]
名大理系数学'08年[4B]
袋Aの中に赤玉と白玉がそれぞれ4つ入っていることと、袋Bの中に赤玉3つと白玉2つが入っていることが分かっている。
(1) 袋Bから2つの玉を取り出すとき、取り出される赤玉の個数の期待値を求めよ。
(2) 袋Aから3つの玉を取り出し、そのあと袋Bから2つの玉を取り出す。その5つの玉のうち赤玉が3つである確率を求めよ。
(3) 袋Aから3つの玉を取り出したあとで、2つの玉を袋Aから取り出すかあるいは2つの玉を袋Bから取り出すかのどちらかを選択できるとする。できるだけ多くの赤玉を取り出そうと選択したとき、最終的に取り出される赤玉の個数の期待値を求めよ。
[解答へ]
東北大理系数学'09年後期[2]
アメ玉の入った缶がある。白のアメ玉が11個、赤黄緑青の4色のアメ玉がそれぞれ1個ずつ、合計15個入っている。缶の中身をよく混ぜてから3個同時に取り出す。取り出した3個について以下の確率と期待値を求めよ。
(1) 3個とも白のアメ玉である確率。
(2) 緑のアメ玉が含まれる確率。
(3) 緑と青のアメ玉の個数の合計の期待値。
(4) 白以外のアメ玉の個数の期待値。
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京大理系数学'96年前期[5]
xy平面上の正三角形△ABCを考える。△ABCの重心は原点Oにあり、ベクトル
の長さは1とする。△ABCの内部または辺上の点
に対し、3頂点A，B，Cから1点を等確率
で選び、この頂点と
の中点を
とする。次に点
に対して同様の操作を行い得られた点を
とし、以下この操作を繰り返して、点
，
，･･･，
を作る。ベクトル
の長さの2乗
の期待値を
とおく。
(1) 
をベクトル
の長さを用いて表せ。 (2) 選んだ頂点が
，
，･･･，
のとき、ベクトル
をベクトル
と
，
を用いて表せ。 (3) 
が原点Oのとき
を求めよ。 [解答へ]
九州工大情報数学'08年前期[4]
出席者n人の会議で、出席者のうち
以上が議案に賛成する確率
と、
以上が賛成する確率
を考える。各出席者が議案に賛成する確率をp (
)とし、各出席者が賛成するかしないかは互いに独立であるとする。
たとえば、
である。
(1) 
を求めよ。 (2) 
を示せ。 (3) 差
が最も大きくなるときのpの値を求めよ。 (4) 
のとき、
を示せ。 [解答へ]
九大理系数学'09年前期[2]
kは2以上の自然数とする。「1」と書かれたカードが1枚、「2」と書かれたカードが2枚、･･･、「k」と書かれたカードがk枚ある。そのうちの偶数が書かれたカードの枚数をM，奇数が書かれたカードの枚数をNで表す。この
枚のカードをよくきって1枚を取り出し、そこに書かれた数を記録してもとに戻すという操作をn回繰り返す。記録されたn個の数の和が偶数となる確率を
とする。次の問いに答えよ。
(1) 
と
をM，Nで表せ。 (2) 
を
，M，Nで表せ。 (3) 
をkで表せ。 (4) 
をnとkで表せ。 [解答へ]
慶大医数学'09年[3]
以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい。また、設問(3)に答えなさい。
正方形の4つの頂点に
，
，
，
の順に反時計回りに名前をつける。
，
上には表を上にした硬貨を1枚ずつ置き、
，
上には裏を上にした硬貨を1枚ずつ置く。いま次の操作Tを何回か繰り返し行う。
操作T：4つの頂点のどれかを確率 ずつで選ぶ。選ばれた頂点を
( )とするとき、辺に沿って 上の硬貨と並んでいる
硬貨2枚のうち 上の硬貨とは逆の面を上にしたものの枚数を
kとする。次に、 上の硬貨を確率 でひっくり返し、確率
 でそのままにしておく。 |
以下、nを自然数とする。操作Tをn回繰り返し行った結果、表を上にした硬貨がちょうど1枚だけある確率を
，ちょうど2枚だけありそれらが辺に沿って並んでいる確率を
，ちょうど2枚だけありそれらが対角線に沿って並んでいる確率を
，ちょうど3枚だけある確率を
とする。
(2) 
のとき、
，
，
，
と
，
，
，
の関係を4次の正方行列を用いて表すと、 である。これより任意のnに対して
を求めると
である。
(3) 任意のnに対して
であることを示せ。 (4) 任意のnに対して
と
を求めると、
，
である。これより、
，
である。 [解答へ]
名工大数学'08年前期[4]
表の出る確率がp (
)、裏の出る確率が
のコインを用いて、以下の手順により1つの空間ベクトルを定める。1回目にコインを投げて、表が出ればx成分を1，裏が出ればx成分を
とし、2回目にコインを投げて同じようにy成分を決め、3回目にコインを投げて同じようにz成分を決める。この手順を3回繰り返して、3つの空間ベクトル
，
，
を決める。
と
のx成分が同符号となる確率をαとする。
(1) αをpを用いて表せ。
(2) 内積
が1となる確率をαを用いて表せ。 (3) 内積
の期待値をαを用いて表せ。 [解答へ]
群馬大医数学'09年[2]
を展開して得られるx，yの多項式について、次数が12である各項の係数の和を求めよ。
[解答へ]
九大数学'10年前期[2]
次のような競技を考える。競技者がサイコロを振る。もし、出た目が気に入ればその目を得点とする。そうでなければ、もう1回サイコロを振って、2つの目の合計を得点とすることができる。ただし、合計が7以上になった場合は得点は0点とする。この取り決めによって、2回目を振ると得点が下がることもあることに注意しよう。次の問いに答えよ。
(1) 競技者が常にサイコロを2回振るとすると、得点の期待値はいくらか。
(2) 競技者が最初の目が6のときだけ2回目を振らないとすると、得点の期待値はいくらか。
(3) 得点の期待値を最大にするためには、競技者は最初の目がどの範囲にあるときに2回目をふるとよいか。
[解答へ]
熊本大医数学'10年[2]
赤球4個と白球6個の入った袋から2個の球を同時に取り出し、その中に赤球が含まれていたら、その個数だけさらに袋から球を取り出す。このとき、以下の問いに答えよ。
(問1) 取り出した赤球の総数が2である確率を求めよ。
(問2) 取り出した赤球の総数が、取り出した白球の総数を越える確率を求めよ。
[解答へ]
九大数学'10年後期[4]
表と裏の出る確率が
ずつの硬貨を投げ、表なら1点、裏なら0点とする。k，nを正の整数として、以下の問いに答えよ。
1．硬貨を繰り返して投げ、得点の合計が3点に達したら終了することにする。ちょうど5回目で終了する確率はいくらか。また、ちょうどn回目で終了する確率を
とするとき、
を証明せよ。 2．硬貨を繰り返して投げ、得点の合計がk点に達したら終了することにする。ちょうどn回目で終了する確率を
とする。kを固定したままnを動かすときの
の最大値を求めよ。 [解答へ]
九大数学'11年前期[5]
1から4までの数字が1つずつ書かれた4枚のカードがある。その4枚のカードを横一列に並べ、以下の操作を考える。
操作：1から4までの数字が1つずつ書かれた4個の球が入っている袋から同時に2個の球を取り出す。球に書かれた数字がiとjならば、iのカードとjのカードを入れ替える。その後、2個の球は袋に戻す。
はじめにカードを左から順に1，2，3，4と並べ、上の操作をn回繰り返した後のカードについて、以下の問いに答えよ。
(1) 
のとき、カードが左から順に1，2，3，4と並ぶ確率を求めよ。 (2) 
のとき、カードが左から順に4，3，2，1と並ぶ確率を求めよ。 (3) 
のとき、左端のカードの数字が1になる確率を求めよ。 (4) 
のとき、左端のカードの数字の期待値を求めよ。 [解答へ]
東北大理系数学'11年前期[3]
先生と3人の生徒A，B，Cがおり、玉の入った箱がある。箱の中には最初、赤玉3個、白玉7個、全部で10個の玉が入っている。先生がサイコロをふって、1の目が出たらAが、2または3の目が出たらBが、その他の目が出たらCが箱の中から1つだけ玉を取り出す操作を行う。取り出した玉は箱の中に戻さず、取り出した生徒のものとする。この操作を続けて行うものとして以下の問いに答えよ。
ただし、サイコロの1から6の目の出る確率は等しいものとし、また、箱の中のそれぞれの玉の取り出される確率は等しいものとする。
(1) 2回目の操作が終わったとき、Aが2個の赤玉を手に入れている確率を求めよ。
(2) 2回目の操作が終わったとき、Bが少なくとも1個の赤玉を手に入れている確率を求めよ。
(3) 3回目の操作で、Cが赤玉を取り出す確率を求めよ。
[解答へ]
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のとき、
(
)を求めよ。
，
，
，
である。
，
として内積
が正となる確率を求めよ。