いろいろな曲線演習問題

名工大数学'09年[2]


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楕円を原点を中心に反時計回りに角だけ回転して得られる曲線をCとする。
(1) 曲線Cの方程式を求めよ。
(2) 直線がCと共有点を持つような実数tの範囲を求めよ。
(3) すべての頂点がC上にあり、1辺がx軸に平行な三角形の面積の最大値を求めよ。
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北大理系数学'07年前期[5]
楕円：と双曲線：を考える。との焦点が一致しているならば、との交点でそれぞれの接線は直交することを示せ。
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名大理系数学'09年前期[1]
，とする。点Aを中心とする半径rの円が、双曲線と2点B，Cで接しているとする。ただし、とする。ここで、双曲線と円が点Pで接するとは、Pが双曲線と円との共有点であり、かつ点Pにおける双曲線の接線と点Pにおける円の接線が一致することである。
(1) r，s，tをaとbを用いて表せ。
(2) △ABCが正三角形となるaとrが存在するようなbの値の範囲を求めよ。
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慶大医数学'09年[2]
以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい。
a，bを正の定数、mを実数、kを負の実数とする。xy平面上の楕円C：と直線l：が異なる2点P，Qで交わるための必要十分条件はであり、このとき、である。さらに、点P，Qを固定して点Rを楕円C上で動かすときのの面積の最大値をAとするとである。次に、mを固定してkを動かすとき、Aが最大となるkの値はであり、その最大値はである。
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福井大医数学'08年[2]
座標平面において、原点Oを中心とする半径1の円C上に点Pをとり、PにおけるCの接線lと直線の交点をQとおく。ただし、とする。l上の点Rがを満たすとき、以下の問いに答えよ。
(1) Rの座標をθ を用いて表せ。
(2) θ がの範囲を動くとき、線分PRの長さの最大値とそのときのθ の値を求めよ。
(3) θ がの範囲を動くときのRの軌跡を求め、その概形を描け。
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筑波大数学'08年[6]
放物線C：上の異なる2点P，Q ()における接線の交点をRとする。
(1) X，Yをt，sを用いて表せ。
(2) 点P，Qがを満たしながらC上を動くとき、点Rは双曲線上を動くことを示し、かつ、その双曲線の方程式を求めよ。
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同志社大理工数学'09年[4]
双曲線C：について次の問いに答えよ。
(1) Cの漸近線の方程式を記せ。
(2) mを任意の実数として、直線が曲線Cに接していないことを示せ。
(3) 点Aを通るCの接線の方程式をすべて求めよ。
(4) C上にない点Pを通るCの接線がちょうど2本あって、2本の接線が直交するとき、p，qがみたすべき条件を求めよ。
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東工大数学'09年後期[1]
aが与えられた実数のとき、xyz空間の点Cから出た光が球
でさえぎられてできるxy平面上の影をSとする。点がSに含まれる条件を求めよ。
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横浜国大工数学'09年後期[3]
xy平面上の領域，で、方程式が表す曲線をCとする。正の数tに対して、直線がCと異なる2点Q，Rで交わるとき、次の問いに答えよ。
(1) Cを極座標に関する方程式で表し、rのとり得る値の最大値を求めよ。
(2) Q，Rの座標をtを用いて表せ。
(3) 線分QRの長さが最大となるtの値を求めよ。
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横浜国大工数学'10年前期[4]
a，bを正の実数とする。曲線
C：
は領域D：に含まれている。次の問いに答えよ。
(1) が存在する範囲をab平面上に図示せよ。
(2) Cが囲む部分の面積が最大になるときのa，bの値を求めよ。
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阪大理系数学'10年前期[2]
とする。2つの曲線
：，　：
の交点のうち、x座標とy座標がともに正であるものをPとする。Pにおける，の接線をそれぞれ，とし、y軸と，の交点をそれぞれQ，Rとする。θ がの範囲を動くとき、線分QRの長さの最小値を求めよ。
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岐阜薬大数学'10年[6]
楕円O：，直線l： ()，直線：がある。楕円Oと直線lが接しているとき、次の問いに答えよ。
(1) αの値を求めよ。また、楕円Oと直線が2個の共有点をもつように、tの値の存在範囲を求めよ。
(2) 直線lと直線の交点を点Hとするとき、点Aと点Hとの距離sをtを用いて表せ。また、楕円Oと直線が2個の共有点P，Qをもつとき、をtを用いて表せ。ただし、とする。
(3) 楕円Oを直線lのまわりに1回転してできる回転体の体積Vを求めよ。
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京都府立医大数学'10年[1]
Oを原点とする座標平面上の楕円C：を考える。
点P (ただし、)を通る楕円Cの2つの接線を，とし、それらと楕円との接点をそれぞれQ，Rとする。点Qを通りと直交する直線をとし、点Rを通りと直交する直線をとする。直線との交点をSとする。ただし、Qのx座標はRのx座標より大きいとする。
(1) 2点Q，Rの座標をt を用いて表せ。
(2) 点Sの座標をt を用いて表せ。
(3) t が1より大きい実数全体を動くとき、点Sの軌跡を求めよ。
(4) であるとき、△OPSの面積をとする。を求めよ。
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鹿児島大数学'10年[6]
で表される曲線をCとし、PをC上の点とする。次の各問いに答えよ。
(1) 曲線C上の点Pにおける接線lの方程式は、
となることを証明せよ。
(2) 原点Oからlにおろした垂線をOHとする。Hの座標をとするとき、，を，で表せ。
(3) F，とする。は点Pの取り方によらず一定であることを証明せよ。また、その値を求めよ。
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電通大数学'11年前期[4]
直線：の法線ベクトルをとし、点Pと直線との距離をhとする。ただし、で、とする。
以下の問いに答えよ。
(1) の成分a，bを求めよ。
(2) 原点をOとし、でないに対し、とのなす角をθ とする。
このとき、hをとθ を用いて表せ。また、hをx，yを用いて表せ。
以下では、曲線Cを、点Aと直線からの距離が等しい点Pの軌跡とする。
(3) 曲線Cの方程式(x，yの関係式)を求めよ。
(4) 曲線Cと直線 (t は定数)との共有点の個数を求めよ。
(5) 曲線Cと直線が2個の共有点Q，Rをもつとき、線分QRの長さをt を用いて表せ。
(6) 曲線Cと直線とで囲まれる部分の面積Sを求めよ。
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