阪大物理'25年前期[1]
水平な床の上を運動する台と、台の上にのせた小物体について考察する。台および小物体はx軸に沿ってのみ運動するものとする。重力加速度の大きさはである。加速度の正の向きはx軸の正の向きとする。

Ⅰ．図1のように、水平な床の上に質量Mの台を静止させ、台の上に質量mの小物体Bを静止させた。台と小物体Bの間には摩擦があり、その静止摩擦係数はμ，動摩擦係数は (ただし)である。床と台の間には摩擦はないものとする。また、小物体Bをのせた台の面は水平である。なお、台の長さは十分に長く、小物体Bは台の上から滑り落ちないものとする。

時刻から、台に対してx軸の正の向きに大きさがの一定の力を加え続けた。

問1　のとき、小物体Bは台に対してすべるように運動した。また、のとき、台と小物体Bは一体となって運動した。を、，M，m，μ，のうち必要なものを用いて表せ。

問2　のとき、時刻 ()における、台の速度と小物体Bの速度を、，，M，m，，のうち必要なものを用いてそれぞれ表せ。

Ⅱ．図2のように、両端に壁をもつ質量Mの台を水平な床の上に静止させ、台の上に質量mの小物体Bを静止させた。台の壁と小物体Bとの間の反発係数(はねかえり係数)をeとし、が満たされているとする。台と小物体Bの間、および、床と台の間に摩擦はないものとする。また、小物体Bをのせた台の面は水平である。
時刻から時刻 ()までの間、台に対してx軸の正の向きに大きさがの一定の力を加え続けた。時刻での、台と小物体Bの速度はそれぞれとであった。なお、この間に、小物体Bは台の壁に衝突することはなかった。

問3　小物体Bの速度および時刻を、，M，m，のうち必要なものを用いてそれぞれ表せ。

時刻において、台に対して力を加えることをやめた。その後、小物体Bは台の壁と衝突を繰り返した。

問4　十分に長い時間、衝突を繰り返した結果、台と小物体Bの速度はどちらもとなった。速度を、e，，M，m，のうち必要なものを用いてそれぞれ表せ。

問5　小物体Bと壁がn回目の衝突をした直後の、台の速度および小物体Bの速度を、e，，M，m，n，のうち必要なものを用いてそれぞれ表せ。ただし、nは1以上の整数とする。

Ⅲ．図3のように、水平な床の上に質量Mの台を静止させ、台の上に質量mの小物体Bを静止させた。さらに、台の壁と小物体Bを、質量の無視できるばね定数kのばねでつないだ。台と小物体Bとの間には摩擦があり、その静止摩擦係数はμ，動摩擦係数は (ただし、)とする。床と台の間には摩擦はないものとする。また、小物体Bをのせた台の面は水平である。
最初、ばねの長さは自然長dであった。台に対して、x軸の正の向きに瞬間的な力を加えたところ、その直後の台の速度はとなり、小物体Bは台の上をすべりはじめた。しばらくの間、ばねは伸び縮みを繰り返し、その後、ばねの長さはLとなり変化しなくなった。また、このときの台と小物体Bの速度はともにであった。なお、この運動の間、小物体Bは台の壁に衝突したり、台の上からすべり落ちることはなかった。

問6　速度を、d，，k，M，m，，のうち必要なものを用いて表せ。

問7　小物体Bが台の上をすべり始めてからばねの長さが変化しなくなるまでの間に、小物体Bが台の上をすべった総距離をd，，k，L，M，m，，のうち必要なものを用いて表せ。

台が速度を得てから、ばねの長さがLとなり変化しなくなるまでの間の、小物体Bの運動について考察する。小物体Bが台の上をすべりはじめると、ばねは縮みはじめた。ばねの長さがとなったとき、小物体Bは台の上で1回目の折り返しを行い、ばねは伸び始めた。その後、ばねの長さがとなったとき、小物体Bは台の上で2回目の折り返しを行い、ばねは再び縮みはじめた。以後、ばねはこのような伸び縮みを繰り返した。小物体Bは台の上でn回目の折り返しを行ったのち、回目の折り返しをすることなく、台に対する運動を停止した。そしてそれ以降、ばねの長さは変化しなくなった。ここで、nは3以上の整数とする。

問8　台が速度を得てから小物体Bが1回目の折り返しをするまでの間の運動を考える。その間のある時刻において、ばねの長さはDであった。その時刻における、台とともに運動する観測者からみた小物体Bの加速度aを、D，d，，k，M，m，，のうち必要なものを用いて表せ。

問9　1回目の折り返しの時点でのばねの長さを、d，，k，M，m，，のうち必要なものを用いて表せ。

問10　小物体Bが台に対して運動を停止した後のばねの長さLを、d，，k，M，m，，n，のうち必要なものを用いて表せ。



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解答　力学全般にわたる総合問題です。難問というわけではないのですが、要求されているものが多く、問9，問10など無理です。

Ⅰ．問1　のときにすべり、のときに台と小物体Bが一体となって運動した、ということは、のときに滑り出す限界で台と小物体Bとの間の摩擦力fが最大静止力になっていて滑り出していない、台と小物体Bは一体となって運動している、ということです。つまり、台と小物体Bは同じ加速度aで等加速度運動します。このとき、小物体Bが受ける力はx軸正方向の最大静止摩擦力，台が受ける力はx軸正方向のとx軸負方向の最大静止摩擦力です。
小物体の運動方程式：　･･･①
台の運動方程式：　･･･②
①より、
①＋②より、
このときなので、 ......[答]

問2　のときには、小物体Bと台の間がすべり、両者の間に動摩擦力が働き、両者の加速度が異なります。小物体の加速度を，台の加速度をとして、
小物体の運動方程式：
台の運動方程式：
これより、，
よって、 ......[答]， ......[答]

Ⅱ．問3　台と小物体Bの間に摩擦がないので、台に力を加えて台が動き出しても、小物体Bは動きません。 ......[答]
における系の運動量は0，における系の運動量は，その間に系に及ぼされる力積はです。運動量の原理より、
　∴ ......[答]

問4　台に対して力を加えることをやめると、以後、台は速度で等速度運動します。十分に長い時間経過後の系の運動量はです。系には外力が働かないので、と、十分に長い時間経過後との運動量保存より、
　∴ ......[答]

問5　問4によりにおける系の運動量はです。n回目の衝突後の系の運動量はです。n回目の衝突後ととの運動量保存より、
　･･･③
回目の衝突における反発係数の式：
これよりは公比，初項の等比数列です。
∴ 　･･･④
④を③に代入して、
∴ ......[答]
④より、

......[答]

Ⅲ．問6　瞬間的な力を加えた直後の台と小物体Bとばねからなる系の運動量はです。ばねの長さがLとなり変化しなくなった後の系の運動量はです。系に外部から働く力はないので、運動量保存より、
　∴ ......[答]

問7　瞬間的な力を加えた直後の系の運動エネルギーはです。このとき、ばねの長さは自然長なので弾性エネルギーは0です。
ばねの長さが変化しなくなった後、系の運動エネルギーは、問6の結果を用いて、
　･･･⑤
ばねの弾性エネルギーは　･･･⑥
瞬間的な力を加えた直後から、ばねの長さが変化しなくなるまでに、小物体Bが台の上を滑った総距離をとして、動摩擦力がした仕事は(負の仕事です)
瞬間的な力を加えた直後から、ばねの長さが変化しなくなるまでのエネルギーの原理より、
　(∵ ⑤，⑥)

∴ ......[答]

問8　ばねの長さがDのとき、台には、x軸負方向に動摩擦力，ばねの弾性力が働きます。台の加速度をAとして、台の運動方程式は、
∴ 　･･･⑦
台上で見て、小物体Bには、x軸正方向に動摩擦力，ばねの弾性力，x軸正方向に慣性力(>0，∵ )が働きます。台上で見た小物体Bの運動方程式は、
⑦を代入して、
∴ ......[答]

問9　台が速度を得たときの系の力学的エネルギーはです。ばねの長さがになったとき、ばねの弾性エネルギーは，このとき小物体Bは台に対して静止するので、小物体Bと台の速度は一致し問6のになり、このときの運動エネルギーはです。この間に動摩擦力のした仕事はです。エネルギーの原理より、
問6の結果を代入して、



∴
2次方程式を解くと、より、
∴ ......[答]
注．上ではエネルギーを考えて解答しましたが、問8で加速度を求めているので、出題者の意図としては、加速度から求めさせたいのかも知れません。ある時刻におけるばねの長さDを変位と考えると、問8の結果は単振動を表しており、単振動の公式：と問8の結果より、単振動の角振動数はです。
台が速度で動き出すと、小物体Bは台上で見て速度で動き出します。問8の結果より、振動中心はにあり、このときの小物体Bの位置は、振動中心からずれた位置にあります。
単振動の振幅をwとして、単振動の公式：より、

これより、となり、1回目の折り返しの位置は、振動中心からwだけ縮んだ位置で、
となります。

問10　いきなり運動を停止した後の状況を考えるのは難しいので、2回目の折り返し、3回目の折り返し、4回目の折り返しの状況を考えます。それぞれの場合のばねの長さを，，とします。動摩擦力により負の仕事を受けるので、，，，と次第に自然長dに近づいていきます。
1回目、3回目の折り返しでは、ばねが縮んだところ()から折り返して、x軸正方向に進んでいきます。動摩擦力はx軸負方向に働き、1回目から2回目、3回目から4回目までで動摩擦力は負の仕事，をします。
2回目、4回目の折り返しでは、ばねが伸びたところ()から折り返して、x軸負方向に進んでいきます。動摩擦力はx軸正方向に働き、2回目から3回目までで動摩擦力は負の仕事をします。
これより、jを自然数として、奇数回目回目の折り返しから偶数回目回目の折り返し、偶数回目回目の折り返しから奇数回目回目の折り返しを分けて考えることにします。
小物体Bが折り返すとき、小物体Bは台に対して静止するので、このとき、小物体Bと台は問6の状況のように同じ速度となり、各折り返し時点でのエネルギーは等しく、エネルギーの変化は弾性エネルギーの変化だけになります。
回目から回目まででは、ばねは伸びるので，弾性エネルギーはからまで変化します。動摩擦力のする仕事はです。この間のエネルギーの原理より、



　･･･⑧
回目から回目まででは、ばねは縮むので，弾性エネルギーはからまで変化します。動摩擦力のする仕事はです。この間のエネルギーの原理より、



⑧を代入すると、
よって、は初項，公差の等差数列です。よって、
問9の結果を代入すると、として、
⑧より、
のとき、
のとき、
のときの符号はプラス、wの符号はマイナス、のときの符号はマイナス、wの符号はプラス、小物体Bが台に対して運動を停止するのは、n回目の折り返しの位置(回目の折り返しはしない)において静止し、ばねの弾性力＋慣性力が最大静止摩擦力を越えなくなったときなので、
......[答]
注．この問題も、東大19年[1]のように、振動中心と振幅を追っていけば、問9注．を利用して解答することができます。



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なお、解答は、
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