東工大物理'23年前期[1]
図1のように、地面からの高さがhの鉛直な崖の上面から大きさの無視できる質量mの小球をばねを使って水平方向に射出し、円筒形の容器の中を滑らかに動くことのできるピストンの上に落下させる。ばねの左端は固定されており、右端には小球を押し出すための板が取り付けられていて、ばねが自然長のとき板は崖のふちに一致している。ばねのばね定数はkである。ここで、崖の上面は水平であり、小球との静止摩擦係数をμ，動摩擦係数を
とする。容器は水平な地面に埋め込まれており、その中心軸は鉛直線に平行で崖からの距離がLの位置にある。ピストンは半径rの円板で、ピストンの質量はM (
)であり、容器の内部は単原子分子からなるnモルの理想気体で満たされている。また、ピストンは鉛直方向にのみ動き、傾くことはないものとする。最初、ピストンは静止しており、ピストンの上面は地面と同じ高さにあり、下面は容器の底から
だけ離れている。
以下では重力加速度の大きさを
，気体定数をR，大気圧を
とし、ばねと板の質量、および空気抵抗は無視できるものとする。また、崖の上面と板の摩擦は無視し、小球とピストンの衝突は弾性衝突であるとする。ただし、小球が容器に衝突することはないとする。水平右向きにx軸をとり、崖のふちを
とする。また、鉛直上向きにy軸をとり、地面の高さを
とする。さらに、小球、ばね、および容器の中心軸はxy平面内にあり、すべての運動はxy平面内に限られているとする。
[A] 小球を板に押しあてて、ばねを縮めながら、小球を
(
)まで移動させ、静止した状態で小球を放す実験を様々な
について行った。以下の問いに答えよ。
(a) 小球を放した後、小球が動き出すためには
がある値より小さくなければならない。この値を
，m，k，μのうち必要なものを用いて表せ。解答欄には答えのみ書くこと。
(b) 問(a)の条件が満たされるとき、動き出した小球の加速度が0となるxの位置
(
)を
，m，k，μ，
のうち必要なものを用いて表せ。
(c) 問(a)の条件が満たされているとき、動き出した小球が崖から飛び出すためには
がある値より小さくなければならない。この値を
，m，k，μのうち必要なものを用いて表せ。
(d) 問(a)と問(c)の条件が満たされており、小球がピストン上面の中心に落下した場合を考える。小球が崖から水平右向きに飛び出したときの速さ
を
，m，h，M，Lのうち必要なものを用いて表せ。
[B] ピストンと容器は断熱材でできており、その中に理想気体が閉じ込められている。崖から飛び出した小球は、ピストン上面の中心に落下した後、ピストンと再び衝突することなく右方へと飛んで行き、ピストンは振動を始めた。ただし、ピストンと容器の間の摩擦は無視できるものとし、ピストンは容器から外れることはないとする。理想気体の状態変化は断熱変化とみなすことができ、理想気体の状態は十分にゆっくりと変化し、理想気体の圧力や温度はいつでも一様とみなせるとする。以下の問いに答えよ。
(e) ピストンの運動を考える前に、理想気体の断熱変化の性質を考察する。以下の空欄(ア)～(エ)にあてはまる数式をV，p，
，
，n，Rのうち必要なものを用いて表せ。解答欄には答のみ書くこと。 初期状態の体積、圧力、温度がそれぞれV，p，Tにある理想気体に外力を加えることで、体積が
，圧力が
，温度が
の状態へと微小変化した場合を考える。つまり、
，
，
の絶対値は1より十分に小さい量である。これらの積を無視する近似をすると、理想気体の状態方程式から 
(1)の関係が成り立つ。
一方、理想気体の内部エネルギーの変化は
である。また、微小変化の間の圧力の変化は小さいことから、理想気体がされた仕事は
と近似できる。よって、
となり、
が
に近似的に比例する。この比例関係と式(1)より 
(2)となり、
は
に近似的に比例することがわかる。
(f) 小球が衝突する前の理想気体の圧力
を
，M，r，
，n，R，
のうち必要なものを用いて表せ。
(g) 小球とピストンの衝突直後のピストンの速度のy成分
を
，m，M，L，h，r，
，n，Rのうち必要なものを用いて表せ。ただし、衝突中にピストンが大気および理想気体から受ける力積は無視できるものとする。
(h) 小球が衝突した後，ピストンが振動しているときの運動を考える。ピストンが初期状態と比べてyだけ鉛直上向きに動いたとき、ピストンにはたらく力の合力のy成分を
とする。
が微小量であるとして、問(e)の式(2)を使い、
を
，r，
，yのうち必要なものを用いて表せ。
(i) 問(h)で得られた
は、比例係数を
として、変位yに対する復元力
と考えられる。このとき、ピストンの振動を単振動とみなして振幅
をM，
，r，yおよび問(g)の
のうち必要なものを用いて表せ。
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解答 力学と気体の融合問題ですが、東工大としては基本的な内容です。解答に使用可能な文字がややこしいので注意しましょう。
∴ 
......[答]
(b) 加速度が0になる、ということは力のつりあいが成立している、ということです。小球が動き出し加速度が0になったときに、小球に働く力は、x軸正方向のばねの弾性力
(
)と、x軸負方向の動摩擦力
です。力のつりあいより、 
∴ 
......[答]
小球が崖から飛び出すために、
，よって、 
より、
......[答]
(d) 小球のx方向の運動は等速度運動で、速さ
でL進む時間を
として、 
∴ 
･･･①時間
の間に小球はy軸負方向に大きさ
の加速度で距離h落下するので、等加速度運動の公式より、
[B](e) 容器内の気体の初期状態の状態方程式：
･･･③ 微小変化後の状態方程式：
･･･④
④－③より、
を無視すると、
辺々③で割ると、
(1)
......[ア]単原子分子理想気体の内部エネルギーの変化は、
......[イ]気体がされた仕事が
なので、気体のした仕事は
です。熱力学第一法則において、断熱変化なので、
より、 ⑤を③で割ることにより、
∴ 
(1)式に代入して
(f) ピストンの面積をSとして、小球が衝突する前にピストンに働く力は、大気圧によるy軸負方向の力
，ピストンにかかるy軸負方向の重力
，容器内の気体の圧力によるy軸正方向の力
で、力のつりあいより、 
より、
......[答] ･･･⑥
(g) 衝突直前の小球の速度のy成分
は、①，②を用いると、等加速度運動の公式より、小球の加速度のy成分が
であることを考慮して、 
･･･⑦衝突直後の小球の速度のy成分を
とすると、衝突が弾性衝突であったことから反発係数の式より、 
∴ 
･･･⑧y方向について、衝突直前の運動量は、小球の
，衝突直後は、小球の運動量
，ピストンの運動量
で、運動量保存より、 ⑧より、
よって、⑦より、
......[答]
(h) 衝突後にピストンが振動しているときに、ピストンの変位をyとして、容器内の気体の体積は
変化し、容器内の気体の圧力は、衝突前から
変化するとして
となります。⑥より、 (f)と同様に、ピストンに働く力の合力
は、 
･･･⑨(2)式において、
，
として、
⑨に代入すると、
より、 
より、
......[答]
(i) 
より、ピストンの加速度をaとして、ピストンの運動方程式は、 
∴ 
単振動の公式：
より、単振動の角振動数をωとして、
単振動の公式：
より、
を衝突直後のピストンの速度のy成分の大きさ
(
)と考え、 
∴ 
......[答]
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，
∴ 
......[答] ･･･②
･･･⑤
......[ウ]
∴ 
......[エ]
)
)
です。崖から飛び出すまでに動摩擦力が小球にする
)