微分法(最大最小・グラフ・速度加速度)演習問題
横国大工数学'09年後期[5]
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で定義された関数
を考える。ただし、aは定数である。次の問いに答えよ。
(1) 
のとき、
は増加関数であることを示せ。 (2) 
のとき、
は減少関数であることを示せ。 [解答へ]
北見工大数学'08年[5]
一般に、直線
が関数
のグラフの漸近線であるとは、
または 
であることを言う。
とするとき、以下の問いに答えよ。
(1) 
の増減を調べ、
が極小になるxの値、
が極大になるxの値があればそれぞれすべて求めよ。 (2) 
が下に凸になるxの範囲を求めよ。 (3) 
に変曲点があればすべて求め、それぞれの点における
の接線の傾きを求めよ。 (4) 
の漸近線をすべて求めよ。 (5) 
のグラフの概形を描け。また、(3)で求めた変曲点があればそれぞれの変曲点における接線を、(4)で求めた漸近線があれば漸近線を、
のグラフと同じxy平面上に描け。 [解答へ]
阪大理系数学'08年前期[3]
Nを2以上の自然数とする。
(1) 関数
を
の範囲で考える。このとき、曲線
は上に凸であり、関数
は極大値を1つだけとる。このことを示せ。 (2) 自然数の列
を 
(
)で定める。
のうちで最大の値をMとし、
となるnの個数をkとする。このとき
であることを示せ。 (3) (2)で
となるのは、Nが2のときだけであることを示せ。 [解答へ]
東工大数学'09年後期[2]
，
であるような点P
から双曲線
へ引いた2本の接線の接点をA，Bとする。
をtとおいて、三角形PABの面積をtの式として表せ。また、この面積の最小値を求めよ。
[解答へ]
東京理科大理数学'09年[2]
以下の(1)から(3)の問いに答えよ。ただし、(1)および(2)で得られた結論は、必要なら(3)の解答の際に用いてよい。
(1) 
をみたす実数tをとる。実数θ が
の範囲を動くとき、関数
の値が最大になるようなθ の値と、関数
の最大値
を求めよ。 (2) (1)で求めた
を用いて関数
を定める。実数tが
の範囲を動くとき、関数
の値が最大になるようなtの値と、関数
の最大値Mを求めよ。 (3) 半径1の円Tに内接する三角形ABCの頂点Aにおける内角をtで表し、頂点Cにおける内角をθ で表すことにする。
(a) 頂点Aにおける内角tが動く範囲を求めよ。
(b) 頂点Aにおける内角tを一定に保ちながら頂点Aが円T上を動くとき、線分ABと線分ACの長さの和が最大になるための必要十分条件を三角形ABCについての条件として述べよ。
(c) (b)で求めた条件をみたす三角形ABCの頂点Aにおける内角tを、(a)で求めた範囲で動かすことにより、この三角形の3辺の長さの和の最大値を求めよ。
[解答へ]
大分大医数学'08年[2]
a，bは
をみたす定数とする。x，yが
，
，
をみたしながら変化するとき、
のとり得る値の範囲を求めよ。
[解答へ]
富山大医学部数学'08年[2]
水平な平面αを考える。α上の点を中心とし半径1である球Sの、αより上にある部分をHとする。平行光線がαとHに斜め上からあたっていて、α上にHの影ができているとする。その平行光線とαとのなす角がθ (
)であるとき、次の問いに答えよ。なお、半径1の球の表面積が
であることは用いてよい。
(1) Hの、光線があたっている部分の面積
を求めよ。
(2) α上にできる影の面積
を求めよ。ただし、αとSとが交わってできる円の内部は影とは呼ばないこととする。
(3) 
を最小にするようなθ を
とするとき、
の値を求めよ。
[解答へ]
東京学芸大数学'08年[4]
半径1の2つの円が図のように異なる2点で交わっている。2つの交点をA，Bとし、弧ABに対する円の中心角の大きさをθ (
)とする。斜線をつけた図形をDとし、Dの周囲の長さをL，Dの面積をSとする。
を最大にするθ がただ1つ存在することを示せ。
[解答へ]
東工大数学'96年前期[4]
関数
は微分可能で次の(イ)，(ロ)，(ハ)をみたすものとする。
(イ) 
のとき
(ロ) 
(ただし、
) (ハ) 曲線
上の点P
(
)における接線とx軸との交点をQ，法線とx軸との交点をRとしたとき、線分QRの長さ
は関係式 をみたす。
このとき次の問いに答えよ。
(1) 
で
は単調増加で、
に対し
をみたすことを示せ。 (2) 点Pが曲線
(
)上を動くとき
の最小値を求めよ。 [解答へ]
鹿児島大理系数学'08年[3]
eを自然体数の底とする。このとき、次の各問いに答えよ。
(1) 積分
を計算することにより、次の等式を証明せよ。 (2) すべての自然数nについて、等式
が成り立つことを数学的帰納法により証明せよ。
(3) 
のとき、すべての自然数nについて、次の不等式が成り立つことを証明せよ。 [解答へ]
九大理系数学'09年前期[5]
曲線
上を動く点Pの時刻tにおける座標を
と表し、Pの速度ベクトルと加速度ベクトルをそれぞれ
と
とする。すべての時刻tで
かつ
であるとして、次の問いに答えよ。
(1) Pが点
を通過する時刻における速度ベクトル
をsを用いて表せ。 (2) Pが点
を通過する時刻における加速度ベクトル
をsを用いて表せ。 (3) Pが曲線全体を動くとき、
の最大値を求めよ。 [解答へ]
静岡大理数学'10年[2]
次の問いに答えよ。
(1) 不等式
が成り立つことを示せ。 (2) 関数
の増減、グラフの凹凸を調べ、グラフの概形をかけ。 [解答へ]
北大数学'10年前期[4]
に対して
と定める。ただし、
は自然対数の底である。
(1) 不定積分
，
を求めよ。 (2) 
をxの指数関数と多項式を用いて表せ。 (3) 
は
で極大となることを示せ。 [解答へ]
名工大数学'10年前期[4]
関数
(
)に対して次の問いに答えよ。必要ならば、自然対数の底eの値は
であることを用いてよい。
(1) 関数
の増減を調べよ。 (2) 曲線
上の点P
における法線
の方程式を求めよ。 (3) 点Pからx軸に下ろした垂線をPQとする。(2)で求めた法線
とx軸との交点をRとする。2点Q，Rの距離の最大値を求めよ。 [解答へ]
旭川医大数学'10年[3]
関数
(
)の逆関数を
(
)とおくとき、次の問いに答えよ。
問1 
のとき、
をxを用いて表せ。 問2 曲線
(
)と直線
(
)の2つの交点のx座標を、それぞれα，β (
)とおくとき、
をt と関数gを用いて表せ。 問3 
(
)とおくとき、
(
)を示し、
を最小にするt の値を求めよ。 [解答へ]
京都工繊大数学'10年[4]
(1) 不定積分
を求めよ。 (2) 実数aに対して定積分
の値を
とおく。aが
の範囲を動くとき、
の最小値を求めよ。 [解答へ]
大阪市大数学'11年[3]
p，qは正の実数で
とする。
において、2つの関数
，
問1 
を示せ。 問2 
を示せ。 問3 
とするとき、
は
において単調減少であることを示せ。 [解答へ]
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