論証・数学的帰納法演習問題
名市大経済数学'08年[4]
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正の数xに対して、三辺の長さが
で与えられる三角形ABCを考える。次の問いに答えよ。
(1) 
のとき、三角形ABCが存在するようなkの値の範囲を求めよ。 (2) 任意の正の数tに対して不等式
･･･①および
･･･②が成立することを示せ。ただし、②を証明する際に①を利用してよい。
(3) (2)の結果を利用して、任意の正の数xに対して三角形ABCが存在するようなkの値の範囲を求めよ。
[解答へ]
長崎大医数学'09年[4]
すべての正の実数xに対して定義された連続関数
は次の(a)，(b)を満たすものとする。
(a) すべての正の実数x，yに対して
(b) すべての自然数nに対して
この関数
について、次の問いに答えよ。
(1) xを正の実数とするとき、次の値を求めよ。
(2) aを
を満たす有理数とするとき、次の不等式を証明せよ。 (3) a，bを
を満たす有理数とするとき、次の不等式を証明せよ。 (4) a，bが
を満たす実数でも(3)の不等式が成り立つことを用いて、正の実数x，yに対して、次の不等式を証明せよ。 [解答へ]
京大理系数学'99年前期[5]
以下の問いに答えよ。ただし、
，
，
が無理数であることは使ってよい。
(1) 有理数p，q，rについて、
ならば、
であることを示せ。 (2) 実数係数の2次式
について、
，
，
のいずれかは無理数であることを示せ。 [解答へ]
静岡大理系数学'09年[1]
次の問いに答えよ。
(1) すべての自然数nに対して、
は21で割り切れることを証明せよ。 (2) 次の条件を満たす定数でない多項式
を推定し、その推定が正しいことを証明せよ。 (a) 
(b) すべての自然数nに対して、
は
で割り切れる。 [解答へ]
奈良県立医大数学'09年[2]
nを2以上の整数とし、1からnまでの相異なるn個の整数を横一列に並べて得られる各順列σに対して、左からi番目の数字を
と記す。このとき、条件
，かつ
を満たす整数の対
の個数を
とおく。さらに1からnまでの順列σ全体のなす集合をSとする。順列σがS全体を動くとき、
の総和
を求めよ。
[解答へ]
東工大数学'90年前期[1]
x，y，z，wを正数とする。任意の正の整数m，nに対して、
が成り立つための必要十分条件を求めよ。
[解答へ]
東医歯大数学'09年[1]
座標平面または座標空間において、座標成分がすべて整数である点を格子点という。以下の各問いに答えよ。
(1) 
を座標平面上の半径
の円とする。
が内部に格子点を含まないとき、
の中心
が存在しうる領域を
，
の範囲で図示せよ。 (2) 
を座標平面上の半径
の円とする。
は中心をどのような位置に移動させても必ず内部に格子点を含むことを証明せよ。 (3) Sを座標空間内の半径rの球とする。Sは半径を変化させずに中心をどのような位置に移動させても、必ず内部に格子点を含むものとする。このときrのとりうる値の範囲を求めよ。ここでSの内部とは、Sの中心からの距離がrより小さい点全体からなる集合のことである。
[解答へ]
阪大理系数学'09年後期[2]
以下の問いに答えよ。
(1) 
が無理数であることを証明せよ。 (2) a，bを有理数とする。多項式
が
を満たすとき、a，bを求めよ。 (3) nを2以上の自然数とする。
は有理数を係数とするn次多項式で最高次の係数が1であるとする。
となるとき、
を示せ。 [解答へ]
奈良県立医大数学'09年[1]
xyz空間において原点O
を中心とする半径1の球面をSとし、球面Sから点N
を除いた部分に属する点P
に対して、2点N，Pを通る直線とxy平面
との交点をQとおく。
(1) 点Qの座標を求めよ。
(2) 球面S上の任意の点Rに対してRのどんな近くにも、S上の点
で各座標a，b，cがすべて有理数からなるものが存在することを証明せよ。 [解答へ]
静岡大理数学'08年後期[5]
は区間
で定義された連続関数であり、
を満たすとする。
(
)とする。次の問いに答えよ。
(1) 
，
および が成り立つことを示し、さらに
であることを示せ。 (2) nを自然数とし、
に対して、
は0または1とする。次の等式を証明せよ。 (3) 
に対して とする。ただし、
に対して、
は
を越えない最大の整数を表す。このとき、
(
)および であることを示せ。
(4) 
(
)であることを示せ。 [解答へ]
札幌医大数学'10年[4]
整数nに対して、
を次式で定義する。
(1) 
，
を求めよ。 (2) 
が成り立つことを示せ。 (3) 
(ただし
，
は有理数)と表されることを示せ。また
のときの
を求めよ。必要ならばπが無理数であることを用いてよい。 [解答へ]
東医歯大数学'10年[1]
a，b，cを相異なる正の実数とするとき、以下の各問いに答えよ。
(1) 次の2数の大小を比較せよ。
，
(2) 次の4数の大小を比較し、小さい方から順に並べよ。
(3) x，y，zを正の実数とするとき、
のとりうる値の範囲を求めよ。
[解答へ]
名大数学'10年[4]
xy平面上でx座標とy座標がともに整数である点を格子点と呼ぶ。
(1) 
のグラフ上に無限個の格子点が存在することを示せ。 (2) a，bは実数で
とする。
のグラフ上に、点
以外に格子点が2つ存在すれば、無限個存在することを示せ。 [解答へ]
東北大理系数学'10年後期[1]
nを2以上の自然数とする。
は
，
を満たす実数とする。
は
を任意に並べ替えたものとするとき、
が成り立つことを示せ。また、等号が成り立つのはどのようなときか答えよ。
[解答へ]
千葉大数学'10年[11]
は実数全体で定義された関数とする。実数aに関する条件(P)を考える。
(P) 正の実数rを十分小さく選べば、
をみたすすべての実数xに対して
が成り立つ。 このとき、以下の問いに答えよ。
(1) 実数aが条件(P)をみたし、かつ、
が
で微分可能ならば、
であることを証明せよ。 (2) 関数
が で定義されているとき、条件(P)をみたすような実数a全体の集合を決定せよ。
(3) 一般に、実数全体で定義された関数
に対し、次の命題は正しいか。正しければ証明し、正しくなければ反例を挙げよ。 (命題) すべての実数aが条件(P)をみたすならば、
は定数関数である。 [解答へ]
阪大理系数学'11年前期[4]
a，b，cを正の定数とし、xの関数
を考える。以下、定数はすべて実数とする。
(1) 定数p，qに対し、次をみたす定数rが存在することを示せ。
ならば 
(2) 恒等式
を用いて、次をみたす定数k，lが存在することを示せ。 
ならば 
(3) すべての自然数nに対して、
が自然数であるとする。このとき関数
は、自然数の定数mを用いて
と表されることを示せ。 [解答へ]
大分大医数学'11年[1]
実数
，
，
に対して次の不等式を証明せよ。ただし、nは自然数である。
[解答へ]
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