東工大物理'22年前期[2]
Nを正の整数とする。真空中において、総量
の正電荷が半径Rの球内に一様に分布し、負電荷
を持つ荷電粒子がN個だけ存在するとする。この球の中心を原点Oとして、互いに直交するようにx軸，y軸，z軸を設ける。このとき、正電荷の分布が原点から距離rだけ離れた点につくる電場は、原点を中心とする半径rの球内部の正電荷が全て原点に集中したと考えたときに生じる電場に等しく、その外部の正電荷にはよらないことが知られている。図1は、
の場合に、正電荷の分布と荷電粒子の位置の例を示したものである。
荷電粒子の質量をm，クーロンの法則の比例定数をkとし、正電荷の分布は不変で動かず、荷電粒子に対して静電気力以外の力を及ぼさないものとする。また、電磁波の放射や重力は無視できるものとする。
[A] 以下の問に答えよ。
(a) 以下の文章中の空欄(ア)～(カ)に当てはまる適切な数式を、e，R，m，kのうち必要なものを用いて表せ。
の場合に、荷電粒子が原点から距離rだけ離れた点に存在するとし、この荷電粒子が正電荷の分布から受ける静電気力の大きさFと、この静電気力による荷電粒子の位置エネルギーUを考える。まず、
の場合における静電気力は原点に向かい、その大きさは
のようにrに比例し、その比例定数は
である。ばねによる弾性力と同様に力の大きさがrに比例するので、荷電粒子の位置エネルギーは、原点を基準として
となる。
一方、
の場合における静電気力も原点に向かい、その大きさは
のようにrの二乗に反比例する。よって、荷電粒子の位置エネルギーは、
となる。ここで、Cはrによらない定数であり、
における位置エネルギーと
における位置エネルギーとが
において一致することから、
と定まる。
以上の結果を用いると、原点で静止している荷電粒子を無限遠にまで引き離すために必要となる最小の仕事Wは、
となることがわかる。
(b) 
の場合に、半径Rの球内に存在する3個の荷電粒子を考える。図2のように、それらが
のx-y平面内において、原点を重心とする正三角形の各頂点で静止し、そこでは静電気力がつり合う。このとき、正電荷の総量が
であることに注意して、原点から荷電粒子の位置までの距離
を、e，R，m，kのうち必要なものを用いて表せ。
[B] 
の場合に、z軸の正の向きに一定で一様な磁場を加え、その磁束密度の大きさをBとする。このとき、図3のように、
のx-y平面内において原点を中心とする半径a (
)の円軌道上を等速円運動する荷電粒子を考える。荷電粒子の角速度をωとし、等速円運動の向きはz軸の正の側から見て反時計回りであるとする。以下の問に答えよ。
(c) 荷電粒子の角速度ωを求めよ。ただし、本問では、[A]の問(a)の(ア)で求めた比例定数をKとおき、e，m，B，Kのうち必要なものを用いて表せ。
(d) 等速円運動の周期よりも充分に長い時間にわたって円軌道上のある点を通過する電気量を平均することで、円軌道上を流れる電流Iを求め、e，m，a，ωのうち必要なものを用いて表せ。ただし、電流の向きが反時計回りのときIの値は正、時計回りのときIの値は負となるものとする。
(e) 問(d)の電流が原点につくる磁場のz成分
を、e，m，a，ωのうち必要なものを用いて表せ。
[C] 
の場合に、原点で静止している荷電粒子を考える。ある時刻からx軸の正の向きに一定で一様な電場を加えたところ、荷電粒子は半径Rの球内にとどまらずにx軸上で往復運動を始めたが、無限遠にまで到達することはなかった。以下の問に答えよ。
(f) 荷電粒子の位置エネルギー
は、正電荷の分布から受ける静電気力によるものと一様な電場から受ける静電気力によるものの和で与えられる。原点を基準とするとき、x軸上における
の概形として最も適当なものを図4の選択肢①～⑩から選び、番号で答えよ。ただし、それぞれのグラフに描かれているxの範囲外では、
は単調に増加あるいは減少し続けるものとする。
(g) 荷電粒子が半径Rの球内にとどまらずに運動するような電場の強さの下限となる値
を、e，R，m，kのうち必要なものを用いて表せ。
(h) 荷電粒子が無限遠にまで到達しないような電場の強さの上限となる値
を、e，R，m，kのうち必要なものを用いて表せ。
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解答 かなり数学的処理を要求する問題です。符号にも充分注意が必要です。
[A](a) 半径Rの球の体積は
，この中に正電荷eが一様に分布しているので、原点を中心とする半径r (
)で球の体積
の球の内部の電荷は、 この電荷が原点に集中しているとして、問題文のヒントより、荷電粒子が受けるクーロン力の大きさFは、 
･･･①よって、
となる比例定数Kは、
......[ア]
において、ばねの弾性力の位置エネルギーと同様に考えて、 
･･･②よって、
......[イ]あるいは、クーロン力に逆らう外力
(中心から外向き)が荷電粒子を
(原点が基準です)から位置rまで持ってくる仕事を考えて、 
の場合は、原点に電荷eが集中していると考えて、荷電粒子が受けるクーロン力の大きさFは、
，よって、
......[ウ]
･･･③よって、
......[エ]あるいは、クーロン力に逆らう外力
(中心から外向き)のする仕事と考えると、 
(C：積分定数)
において、②と③が一致するとして、
∴ 
......[オ]これより③は、
(
) ･･･④
ここで、
とすると、
原点で静止しているので運動エネルギーは0，荷電粒子を無限遠にまで引き離す仕事がWのとき、エネルギーの原理より、無限遠での運動エネルギーは、
よって、最小の仕事は、
......[カ]
(b) 右図でA
にいる荷電粒子
が原点に集中している正電荷
から受ける力はx軸負方向で(ア)と同様に、
･･･⑤A
とB
との距離はBCに等しく、3個の荷電粒子が正三角形の頂点に位置していることから、
右図A点にいる荷電粒子がB点にいる荷電粒子
から受ける力は斥力で、右図のベクトル
の方向(x軸正方向と
をなす向き)でその大きさは、
A点にいる荷電粒子がC点にいる荷電粒子
から受ける力は、右図のベクトル
の方向(x軸正方向と
をなす向き)で大きさは
，この2つの力の合力はx軸正方向で、
･･･⑥
⑤と⑥の力のつり合いより、
∴ 
......[答]
(d) 等速円運動の周期は
です。電流は時計回りで負です。電流Iは、電荷
が時間
をかけて1周することと、平均を考えるというヒントから、ωを使って答えることに注意して、
......[答]
......[答]
[C] x軸の正の向きに一様な電場の強さをEとして、この電場が位置xに作る電位は
，荷電粒子
の位置エネルギーは、
です。
(f) [A]で考えた位置エネルギーは原点を基準にしていて、ここでも原点を基準にして考えるので、[A]の結果を使って考えます。原点に静止している荷電粒子
はx軸正方向に向かう電場からx軸負方向に力を受けて動き出します。動き出した後は、
に来るので[A]で
と考え、
つまり
のとき、荷電粒子の位置エネルギーは、②と
を合わせて、 
･･･⑦このグラフは、
を軸とする下に凸な放物線です(2次関数を参照)。
つまり
のとき、荷電粒子の位置エネルギーは、④で
としたものに
を合わせて、 
･･･⑧
のとき
です。
また、半径Rの球内にとどまらなかったことから
における位置エネルギーは原点における位置エネルギー
よりも小さくなります。
以上のようになっているグラフは、⑧ ......[答]
(g) (f)でも書いたように、荷電粒子
が半径Rの球内にとどまらなかったことから、⑦で
のとき、
，
∴ 
......[答] 注．(f)でグラフとして⑧を選んでいるので、⑦のグラフ(
)より、
のときのみ確認すれば十分です。但し、
の場合を考えて、⑧を微分すると、 より、Uは
で極大になりますが、極大を与えるxが
を満たす必要があるので、
，つまり
，(g)の結果と合わせて
である必要があります。また、⑦の軸の位置は、
より、
(区間
の左寄り)にあります。
･･･⑨等号は、
，つまり
(
)のとき。
ここで、
より、
･･･⑩
このUの最大値
が0以上であれば、荷電粒子は無限遠に到達しません。よって、 
，
∴ 
(
より⑩を満たしています) 
......[答] 注．(g)の注で
において
でUが極大と書きましたが、⑧で
としても、⑨の最大値が得られます。結局、(g)の注に、無限遠に行かないという条件も加えると、電場Eは、
を満たす必要があります。
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より原点に集中している電荷eと荷電粒子との間のクーロン力は、原点に向かう方向に(ア)より大きさ
です。磁場が荷電粒子に及ぼすローレンツ力は、負電荷の等速円運動の速さが
なので、フレミング左手の法則より、向きは原点に向かう方向で、大きさは、
，荷電粒子の運動方程式は、
，
より、
......[答]
は、
に注意して、
)