極限演習問題
上智大理工数学'09年[1]
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極限値
は自然対数の底eであり、その近似値は
であることが知られている。ここでは、
であることを次の手順で示そう。
(1) 自然数kに対して、
であることを示せ。 (2) 
を二項定理を用いて展開することにより、 であることを示せ。
[解答へ]
神戸大理系数学'08年後期[5]
nを自然数とする。つぼの中に、1の数字を書いた玉が1個、2の数字を書いた玉が1個、3の数字を書いた玉が1個、･･･、nの数字を書いた玉が1個、合計n個の玉が入っている。つぼから無作為に玉を1個取り出し、書かれた数字を見て、元に戻す試行をn回おこなう。このとき、次の問いに答えよ。
(1) 試行をn回行ったとき、kの数字が書かれた玉をちょうどk回取り出す確率を
とする。
をkの式で表せ。ただし、
とする。 とおく。この
について、極限
の値を求めよ。 [解答へ]
神戸大理系数学'09年後期[3]
を考える。
，
，
とし、α，β はいずれも、0と
の間の角度とする。α，β，
，
のいずれよりも小さい正の角度θ に対して、4点D，E，F，Gを次のように定める。
Dは、線分BC上にあって
をみたす点Eは、線分AB上にあって
をみたす点Fは、線分AC上にあって
をみたす点Gは、線分AE上にあって
をみたす点 このとき、以下の問いに答えよ。
(1) 線分EGの長さをα，β，θ を用いて表せ。
(2) 極限
を求めよ。 [解答へ]
鳥取大医数学'08年[4]
座標平面上に、直線l：
(
)と放物線C：
がある。lとCとで囲まれた領域をDとする。ただし、Dは境界を含む。領域Dに含まれ、かつ、x，yともに整数である点
の個数を
で表すとき、次の問いに答えよ。
(1) 領域Dの面積
をaの式で表せ。 (3) kが正の整数のとき、
をkの式で表せ。 (4) 1以上の実数aに対して、
を満たす整数kをとるとき、 が成り立つことを示せ。
(5) 前問(1)で求めた
に対して、
を求めよ。 [解答へ]
熊本大理数学'07年後期[3]
数列
は
，
(
)
で与えられているとする。また、
とし、xに関する方程式
の正の解をaとする。このとき、次の問いに答えよ。
(1) aの値を求めよ。
(2) すべての正の整数nについて、
であることを証明せよ。 (3) 
において、
であることを証明せよ。 (4) 
とするとき、すべての正の整数nについて、
であることを証明せよ。 (5) 
の値を求めよ。 [解答へ]
長岡技科大数学'09年[2]
とする。
とするとき、以下の問いに答えよ。
(1) 
を示せ。 (2) 
を示せ。 (3) 
，
(
)で定義される数列を
とする。
を求めよ。 [解答へ]
岐阜大工数学'08年[4]
自然数nと実数xに対して
とおく。以下の問いに答えよ。
(1) 
のとき、極限値
を求めよ。 (2) すべての実数xに対して、
が存在することを示せ。また、
とおくとき、gをxを用いて表せ。 (3) xの値がすべての実数を変化するとき、(2)で定まったgの最大値と最小値を求めよ。
[解答へ]
長崎大工数学'08年[3]
，
である相似な直角三角形
(
)が、次のような規則で座標平面上に並べられている。
規則1) 三角形どうしが、辺以外で重なることはない。
規則2) 頂点
は座標平面上の原点
と一致し、
は点
と一致している。また、
は第1象限にある。 規則3) mを自然数とするとき、三角形
と三角形
において、
は
と一致し、
は
と一致している。 さらに、三角形
と三角形
において、頂点
は
と一致し、
は
と一致している。 次の問いに答えよ。
(1) 
の座標を、θ を用いて表せ。 (3) 
および
を求めよ。 [解答へ]
北大数学'10年後期[3]
1辺の長さがaの正三角形
から出発して、多角形
，
，･･･，
，･･････ を次のように定める。
(i) ABを
の1辺とする。辺ABを3等分し、その分点をAに近い方からP，Qとする。 (ii) PQを1辺とする正三角形PQRを
の外側に作る。 (iii) 辺ABを折れ線APRQBで置き換える。
のすべての辺に対して(i)〜(iii)の操作を行って得られる多角形を
とする。
以下の問いに答えよ。
(1) 
の周の長さ
をaとnで表せ。 (2) 
の面積
をaとnで表せ。 (3) 
を求めよ。 [解答へ]
北大理系数学'08年前期[3]
関数
を
とする。
(1) 
ならば、
となることを示せ。 (2) 
となるxをすべて求めよ。 (3) 
とし、数列
を とする。αの値に応じて、
を求めよ。 [解答へ]
大分大医数学'09年[1]
(
)
とおくとき、次の問いに答えよ。
(1) 
，
の値を求めよ。 (2) 
の値を求めよ。 [解答へ]
大阪府立大工数学'09年[5]
，
とする。このとき、次の問いに答えよ。
(1) 積分
を計算し、
をaとθ を用いて表せ。 (2) 極限
が正の値に収束するためのaの条件を求めよ。 (3) (2)の条件を満たすaに対して、極限
をaを用いて表せ。 (4) (2)の条件を満たすaに対して、極限
をaを用いて表せ。なお、
であるすべてのxに対して が成り立つことを用いてもよい。
[解答へ]
東工大数学'95年前期[3]
nを自然数とする。
(1) 
の増減を調べ、グラフの概形を描け。 (2) 楕円
と曲線
の交点のうち
でない方の座標を
とおく。このとき、
であることを示せ。 [解答へ]
名工大数学'09年前期[3]
実数xに対して
とおく。
(1) 
を求めよ。 (2) 
に対して
とおく。
の導関数を求め、
に対して等式
が成り立つことを示せ。 (3) (2)を利用して極限
を求めよ。 (4) 極限
を求めよ。 [解答へ]
防衛医大数学'09年[1]
曲線
上の点P
における接線と法線をそれぞれ
，
とする。曲線と接線
とy軸で囲まれる部分の面積を
，曲線と法線
とy軸で囲まれる部分の面積を
とする。ただし、
のとき、
とおく。
このとき、以下の問いに答えよ。
(1) 接線
と法線
の方程式を求めよ。 (2) 
，
をpを用いて表せ。 (3) 
を求めよ。 [解答へ]
奈良県立医大数学'09年[4]
(1) 任意の正整数nに対して関数
は
で定義されているものとする。このとき、 が成り立つかどうか調べよ。
(2) 各正整数nに対して、θ が
の範囲を動くときの関数
の最大値を
とおく。このとき、極限値
を求めよ。 ただし、aを
の範囲にある定数とするとき、
であることは証明なしに用いてよい。 [解答へ]
熊本大医数学'10年[4]
以下の問いに答えよ。
(問1) pを0でない定数とする。関数
について、
となるように、定数a，bを定めよ。 (問3) 
の値を求めよ。 [解答へ]
大阪市大数学'10年[4]
a，bは
をみたす実数とする。
，
は閉区間
で定義された連続関数で、
をみたすとする。座標平面上、不等式
，
をみたす点
全体からなる図形をAとする。Aの面積Sが正のとき、Aの重心のy座標は、
で与えられる。この事実を用いて、次の問いに答えよ。
問1 rは
をみたす実数とする。不等式
，
をみたす点
全体からなる図形をBとおく。Bの重心のy座標
をrを用いて表せ。 問2 tは正の実数とする。不等式
，
をみたす点
全体からなる図形をCとおく。Cの重心のy座標
をtを用いて表せ。 問3 問1で得られた
と問2で得られた
について、
，
の大小を比較せよ。 [解答へ]
東北大理系数学'10年後期[4]
として、数列
，
，
，･･･ を
で定義する。以下の問いに答えよ。
(1) すべての自然数nに対して
が成り立つことを示せ。
(2) すべての自然数nに対して
が成り立つことを示せ。
(3) すべての自然数nに対して
を満たす正の定数αのうち、最大のものを求めよ。 [解答へ]
広島大理系数学'10年後期[1]
自然数のうち、2と8がどの桁にも現れないものを考え、それらを小さい方から重に並べた数列
1, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 30, 31, 33, ･･･
を
とする。いま、自然数mに対し、数列
の中にあるm桁の整数の個数を
とする。例えば
である。このとき、以下の問いに答えよ。
(1) 
，
を求めよ。 (2) 自然数mに対し、
を求めよ。 (3) 自然数mに対し、数列
の中にあるm桁の整数の逆数の総和は
より小さいことを示せ。 (4) すべての自然数nに対し、
が成り立つことを示せ。 [解答へ]
東工大数学'10年後期[1]
a，b，tは実数で、
とする。次の漸化式により、数列
，
(
)を定める。
(1) 
をa，b，t，nを用いて表せ。 (2) 
とするとき、
が収束するためのa，b，tについての必要十分条件を求めよ。 [解答へ]
山梨大医数学'10年[2]
表が出る確率がp，裏が出る確率が
である硬貨をn回投げる。このとき、硬貨を1回投げるごとに、表ならばAを記録し、裏ならばBを記録して、1回目から順番に1列に並べる。ただし、nは2以上の整数であり、
とする。このように並べたn個の文字の中に
組ある連続する2文字が、どれもABの順番に並んでいない確率を
とし、どれもAAの順番に並んでいない確率を
とする。
(1) 
を求めよ。 (2) 
を求めよ。 (3) 
となるようなpの値、および、そのときの
，
を求めよ。ただし、
となることを用いてもよい。 [解答へ]
同志社大理工数学'11年[4]
数列
は漸化式
(
)
として次の問に答えよ。
(1) 
における
の最大値と最小値を求めよ。 (2) 
における
の最大値と最小値を求めよ。 (3) 
(
)が成立することを数学的帰納法を用いて示せ。 (4) 
(
)が成立することを示せ。 (5) 
を求めよ。 [解答へ]
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，
，
，･･･，
について、
，
，
を求めよ。
(
)の座標
を、θ を用いて表せ。
， 
(
)
(
)とおく。このとき、
を求めよ。
，
(
)
，
，
，
，
，･･･