積分法

積分法

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　数学Ⅲの積分では、三角関数、指数関数、対数関数を含む関数の積分も扱います。これらの積分には、置換積分法、部分積分法などの技巧が必要になります。また、区分求積法により、積分の原理を学びます。
　積分法を応用することにより、面積、体積、曲線の長さなどの計算を行うことができます。ここでは、種々の曲線について、面積、体積の計算を行った例も取り上げます。
　この項目では、不定積分、定積分、定積分の公式、定積分と微分、定積分と面積、絶対値を含む積分の項目も参照してください。

ここで学習する内容は、以下の通りです。各項目をクリックしてください。

不定積分の公式　

　(

)，

，

置換積分　そのままの形では積分計算ができなくても、被積分関数の中の式を文字に置き換えたり、文字を式に置き換えたりすると、積分計算が行える場合があります。

，

の置き換えを扱います。
置換積分(その2)　

では、

とおき、

では、

とおくとうまくいくことがあります。
部分積分法　公式：

により積分が行える場合があります。
定積分の漸化式　

というタイプの漸化式を考えます。

の漸化式：

偶関数・奇関数の積分　

が偶関数であるとき、

，

が奇関数であるとき、

三角関数の積分　

という形の積分は、nに入る自然数によって計算のしかたを工夫する必要があります。
分数関数の積分　分母、分子がxの整式であるような分数関数は、部分分数に分けることによって積分を実行します。
置換積分(その3)　

，

の置き換えを扱います。
定積分と微分(その2)　

区分求積法　定積分が面積を表していることを確認します。無限級数を定積分に変換する公式：

定積分と不等式　

のとき、

階段関数と不等式　

のような数列和は求められないので、定積分を利用して不等式で評価します。
コーシー・シュワルツの不等式　

定積分と面積(その2)　数学Ⅱでは扱わなかった関数のグラフについて面積を考えます。
定積分と体積　断面積を

として、

によって立体の体積を計算することができます。
x軸のまわりの回転体　x軸のまわりの回転体の体積は、

として計算できます。
y軸のまわりの回転体　y軸のまわりの回転体の体積は、

として計算できます。円筒分割にも触れます。
斜回転体　曲線を直線：

のまわりに1回転させたときにできる回転体の体積を求める方法を考えます。
曲線の長さ　曲線：

の長さは、

として計算できます。
サイクロイド　

，

で与えられる曲線をサイクロイドと言います。
アステロイド　

，

で与えられる曲線をアステロイドと言います。
カージオイド　

，

(

) で与えられる曲線をカージオイドと言います。
エピサイクロイド　

，

で表される曲線をエピサイクロイドと言います。
ハイポサイクロイド　

，

で表される曲線をハイポサイクロイドと言います。
物理への応用　微積分を使って物理の問題を考えます。ここでは、速度、加速度、等加速度運動、等速円運動を扱います。
物理への応用(その2)　「物理への応用」の続きです。ここでは、単振動、また、速度に比例する抵抗力が働く運動を扱います。
減衰振動関数　「物理への応用(その2)」で出てくる減衰振動関数は、大学入試でも頻出です。グラフ、面積を考えます。
フーリエ級数　関数を正弦・余弦の級数和として表すという技巧があります。それに必要となる定積分の計算法を学びます。
積分方程式　積分を含む等式を積分方程式を言います。ここでは、大学入試に出題されるレベルのものを扱います。
微分方程式　導関数や元の関数を含む等式を微分方程式と言います。変数分離型などの簡単なものを扱います。
微分方程式(その2)　微分方程式のうちでやや技巧の必要な、線形1階、線形2階の微分方程式を扱います。

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